0. 文章传送

机器学习之监督学习（一）线性回归、多项式回归、算法优化[巨详细笔记]
机器学习之监督学习（二）二元逻辑回归
机器学习之监督学习（三）神经网络基础
机器学习之监督学习（四）决策树和随机森林
机器学习之实战篇——预测二手房房价(线性回归）
机器学习之实战篇——肿瘤良性/恶性分类器（二元逻辑回归）
机器学习之实战篇——MNIST手写数字0~9识别（全连接神经网络模型）
机器学习之非监督学习（一）K-means 聚类算法
机器学习之实战篇——图像压缩(K-means聚类算法)

1.案例引入

假设你是飞机生产商，生产了一批飞机发动机，并记录其两个特征x1(heat)和x2(vibration)。由于我们的生产技术过硬，可以相信其中大多数发动机能够正常工作。从机器学习的角度出发，那么我们能否充分利用已有的发动机数据，用来检测后续生产的发动机是否异常呢？这就是典型的异常监测任务。

如下图所示，可以根据数据建立概率密度分布模型，对于新的测试数据，若其位置对应的概率小于某个设定阈值，则可将其标记为‘异常。’

再举一个例子，数据中心可以通过用户电脑工作的实时数据（例如内存使用、CPU使用率）监测用户电脑是否异常，发现潜在的风险，例如计算机被攻击或感染恶意软件。一旦检测到异常，系统可以自动提醒用户注意，或向 IT 支持团队发送警报进行进一步检查，以保障用户体验和数据安全性。

2.高斯正态分布

高斯正态分布（Gaussian Normal Distribution）是概率统计中最重要和最常用的分布之一。它在许多自然现象中都有广泛的应用。以下是关于高斯正态分布的详细介绍：

1. 定义
   高斯正态分布是一个连续概率分布，其概率密度函数（PDF）由以下公式给出：

$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

其中：
μ 是均值（mean），决定了分布的中心位置。
σ 是标准差（standard deviation），影响分布的宽度和形状。
σ^2是方差（variance），表示数据的离散程度。

2. 特性
   对称性：高斯正态分布是一个对称分布，均值 \muμ 是其对称中心。
   钟形曲线：概率密度函数图形呈现为钟形曲线，具有单峰性，意味着大多数数据集中在均值附近。
   68-95-99.7法则：在高斯分布中，约68%的数据点位于均值的一个标准差内$（\mu -\sigma 到\mu +\sigma ）$，约95%位于两个标准差内，99.7%位于三个标准差内。
   渐近性：分布在无限远处趋向于零，但永远不会等于零。
3. 标准正态分布
   标准正态分布是特殊的高斯分布，其均值为0，标准差为1。其概率密度函数为：

$$p(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}$$

其中 z 是标准分数（z-score），定义为：$z=\frac{x-\mu }{\sigma }$.

通过标准化，可以将任意高斯分布转换为标准正态分布。

关于多元高斯分布，参照下图：

3.异常检测算法

在异常检测中，我们需要建立概率密度分布模型，通常假设每个特征满足正态分布。
$$x_i～N({\mu }_i,{\sigma }_i^2),p(x_i)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_i}{e}^{-\frac{(x-{\mu }_i{)}^2}{2{\sigma }_i^2}}$$
其中均值和标准差（无偏估计）的计算公式为：
$${\mu }_i=\frac{1}{m}\sum _{k=1}^m{x}_i^{(k)},{\sigma }_i=\sqrt{\frac{1}{m-1}\sum _{k=1}^m({\mu }_i-x_i^{(k)}{)}^2}$$
考虑多个特征，理想情况是考虑各个特征之间相互独立，则由概率公式可得
$$p(x)=\prod _{j}p(x_j;{\mu }_j,{\sigma }_j^2)$$

尽管通常情况下各个特征之间不完全独立，但事实表明这种计算方式能取得较好的模型效果。

设置异常检测的临界概率（阈值）$ϵ$,对于待检测样本，计算其概率p(x)并与$ϵ$比较，如果p(x)<$ϵ$,则将其检测为异常样本。

在异常检测中，如何确定合适的阈值$ϵ$？在前面的系列文章中我们提到，对于参数选择，一种有效方式是引入验证集，通过验证效果来决定理想的参数。

如下图所示，假设我们已知有10000台正常发动机和20台异常发动机，这时可以选择6000台正常发动机作为训练集（符合算法假设）；然后选择2000台正常发动机和10台异常发动机作为验证集；剩下的部分作为测试集。

由于异常检测任务归类于分类问题，因此评估的参数包括混淆矩阵、召回率、精确率、F1-score等等。通过选取不同的阈值，比较验证效果，来选择最优阈值。
同样的，测试集上的表现可以用这些分类指标进行评估。

4.异常检测 vs 监督学习

异常检测属于非监督学习，训练集中的数据均未带标签（默认正常），但我们可能拥有少量带标签的数据（例如发动机案例中已知少量异常发动机），这时候使用监督学习分类算法也可行，那如何在监督学习和基于概率的异常检测之间进行选择呢？

一般来说，异常检测通常适用的情况如下：
①我们只有少量异常数据和大量正常数据
②异常种类很多，未来新的样本可能出现新的异常情况，算法很难从已有数据中捕获足够的异常信息。

监督学习更适用的情况如下：
①我们有大量的正常和异常数据
②异常种类可枚举或未来新的样本呈现的异常情况具有重复性。

适合两种算法的典型场景如下图所示：

5.算法优化

在异常检测任务中，选取和构建合适的特征非常重要，因为基本假设是特征满足正态分布，因此对于偏离正态分布较大的特征，我们希望通过特征处理，将其分布趋近于正态分布。

如下图所示，绘制了某个特征的直方图，可以看到分布曲线向左偏移，偏离正态分布较大。这时候可以通过取对数函数$log(x+c)$,或取幂函数$x^c(0<c<1)$,调整分布接近正态分布。这一过程可以通过编程尝试不同参数c实现。

异常检测中另一种有效的优化方法是通过误差分析引入新的特征。例如在线上交易安全检测器中，我们选取了特征x1(表示交易量)作为特征，训练好模型后进行验证时发现一个错误的案例，发现该案例用户打字速度异常快，因此可以引入新的特征x2：打字速度。这样建立的模型取得了更好的分类效果。

再比如在电脑检测案例中，如果发现一台电脑具有很的高CPU使用率，却使用了很少的网络流量，基于此异常情况可以构建新的特征（如下图，可以取比值）。

特征工程的手段灵活而丰富，但最终的目的都是提升模型的检测能力，在验证集和测试集中都能取得满意的表现。

6.代码实现

计算各个特征高斯分布的均值与标准差函数

def estimate_gaussian(X): 
    """
    Calculates mean and variance of all features 
    in the dataset
    
    Args:
        X (ndarray): (m, n) Data matrix
    
    Returns:
        mu (ndarray): (n,) Mean of all features
        var (ndarray): (n,) Variance of all features
    """

    m, n = X.shape
    
    mu=np.average(X,axis=0)
    var=np.var(X,axis=0,ddof=0) #无偏估计
        
    return mu, var

计算所有输入数据对应的概率密度

def multivariate_gaussian(X, mu, var):
    """
    Computes the probability 
    density function of the examples X under the multivariate gaussian 
    distribution with parameters mu and var. If var is a matrix, it is
    treated as the covariance matrix. If var is a vector, it is treated
    as the var values of the variances in each dimension (a diagonal
    covariance matrix
    """
    
    k = len(mu)
    
    if var.ndim == 1:
        var = np.diag(var)
        
    X = X - mu
    p = (2* np.pi)**(-k/2) * np.linalg.det(var)**(-0.5) * \
        np.exp(-0.5 * np.sum(np.matmul(X, np.linalg.pinv(var)) * X, axis=1))
    
    return p

根据F1-score选择最佳阈值(阈值取值范围从$p_{min}到p_{max},取1000个值$)

def select_threshold(y_val, p_val): 
    """
    Finds the best threshold to use for selecting outliers 
    based on the results from a validation set (p_val) 
    and the ground truth (y_val)
    
    Args:
        y_val (ndarray): Ground truth on validation set
        p_val (ndarray): Results on validation set
        
    Returns:
        epsilon (float): Threshold chosen 
        F1 (float):      F1 score by choosing epsilon as threshold
    """ 

    best_epsilon = 0
    best_F1 = 0
    F1 = 0
    
    step_size = (max(p_val) - min(p_val)) / 1000
    
    for epsilon in np.arange(min(p_val), max(p_val), step_size):
    
        ### START CODE HERE ### 
        y_pred=(p_val < epsilon)
        
        tp=np.sum((y_val==1)&(y_pred==1))
        fp=np.sum((y_val==0)&(y_pred==1))
        fn=np.sum((y_val==1)&(y_pred==0))

        prec=tp/(tp+fp)
        rec=tp/(tp+fn)
        F1=(2*prec*rec)/(prec+rec)
        ### END CODE HERE ### 
        
        if F1 > best_F1:
            best_F1 = F1
            best_epsilon = epsilon
        
    return best_epsilon, best_F1

实例用法

# Estimate the Gaussian parameters
mu, var = estimate_gaussian(X_train)

# Evaluate the probabilites for the training set
p = multivariate_gaussian(X_train, mu, var)

# Evaluate the probabilites for the cross validation set
p_val = multivariate_gaussian(X_val, mu, var)

# Find the best threshold
epsilon, F1 = select_threshold(y_val, p_val)

# Compute the probabilities and detection results for the testing set
p_test=multivariate_gaussian(X_test,mu,var)
y_test=(p_test<epsilon).astype('int')