多项式矩阵

就是说这个矩阵里面的各个元素都是多项式，多项式的主角是类目大（自变量）。

多项式矩阵的秩

0多项式就是完全0的那种，就一个0，类目大都没有了。

多项式矩阵的秩和带一个类目大进去变成普通矩阵的秩不是一回事哦，毕竟类目大可以取到一个特定的值使行列式的值为0，刚好凑到0，秩就变小了。

单位模阵（可逆多项式矩阵）

单位模阵就是可逆多项式矩阵

假如这个多项式矩阵是可逆的，那么它的行列式肯定是一个固定的值，还不能是0！证明如下：

多项式矩阵初等变换

多项式矩阵的Smith标准形

deg就是次数的意思。

这里介绍一下多项式的知识

多项式知识复习

带余除法

f(x)=g(x)q(x)+r(x)，其中f(x)是被除式子，g(x)是除数，q(x)是我们要求的商，r(x)是余数，它的次数显然要比g(x)要小。那么这种式子要怎么算呢？

就是一直凑，先从f(x)中凑出一个可以整除（刚好多几个x的那种）的式子，然后再从剩下的式子里面继续凑，直到剩下的式子次数比g(x)小为止。

质因式分解

f(x)=q1(x)q2(x)……     。q(x)是不可约的多项式

回到之前的知识。我们可以通过多项式除法，求出a** = a11q(x)+r(x)的q(x)和r(x)来，这样我们就可以通过初等变换把原本多种多样的a**降次，变成r(x)，这样整体的多项式矩阵的次数就降低了，达到了

注意最后的结果要首1化（系数为1）

这一点也很好证明，做法如下：

1.挑选一个次数最低的元素（当然不能是0），用行列变换把他换到a11位置。

2.再使用之前提到的方法，把a**降次

3.用a11把一行一列变成0.剩下的部分组成一个矩阵，都可以被a11整除，又可以重复上述步骤。

举个例子：

第一步就是要找出那个不被它整除的刺头，狠狠调教它。

这里提出一个问题：这个标准形是唯一的吗？（指的是r的大小，不是说式子也要一模一样）

注意这些子式都是不包括0的。

想要证明这一点，我们需要证明：经过一次初等行变换，行列式因子不变。实际上交换两行，各阶子式只相差一个正负号，首项归一就一样了。

这样我们也获得了一个新的求标准型的方法。

感觉这种方法是最简单的，以后就用这种方法了

数域上矩阵的特征矩阵

特征矩阵很久以前就学过了，为啥忽然讲这个？：

多项式矩阵的等价问题更简单！特征矩阵作为多项式矩阵等价，那就相当于数字矩阵相似。

多项式矩阵的次数

可以看到一个多项式矩阵的秩其实就是看各个元素中次数最大的一个。

和多项式一个道理，两个相乘，次数就是相加。当然要Ar非奇异（满秩）别给我乘没了

和多项式带余除法一个道理，要么余数为0，要么余数次数要比除数要小。