完全背包

视频讲解
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包，第i件物品的重量weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大，完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件
背包最大重量为4
物品为：
在这里插入图片描述
每件商品都有无限个！问背包能背的物品最大价值是多少？
01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次，而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

dp状态图如下：
在这里插入图片描述
01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量，在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！因为dp[j] 是根据下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了，遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：
在这里插入图片描述
遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：

看了这两个图，完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）
先遍历背包在遍历物品，代码如下：

// 先遍历背包，再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
    cout << endl;
}

// 先遍历物品，在遍历背包
void test_CompletePack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}


// 先遍历背包，再遍历物品
void test_CompletePack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);

    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
            if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

518. 零钱兑换 II

题目链接
视频讲解
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额，请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 ，假设每一种面额的硬币有无限个
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4

这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包，但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？
例如示例一：
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 2
这是一种组合，都是 2 2 1
如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了，组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序，其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈
动规五步曲来分析如下：
确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
确定递推公式
dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加
所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
这个递推公式应该不陌生了，求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];
dp数组如何初始化
首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了
那么 dp[0] = 1 有没有含义，其实既可以说凑成总金额0的货币组合数为1，也可以说凑成总金额0的货币组合数为0，好像都没有毛病
但题目描述中，也没明确说 amount = 0 的情况，结果应该是多少
这里我认为题目描述还是要说明一下，因为后台测试数据是默认，amount = 0 的情况，组合数为1的
下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]
dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法
确定遍历顺序
本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？
因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！
而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序
所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的
本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数
那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了
我们先来看外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况
代码如下：

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5
那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况
所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！
如果把两个for交换顺序，代码如下：

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况
此时dp[j]里算出来的就是排列数！
举例推导dp数组
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：
在这里插入图片描述
最后红色框dp[amount]为最终结果

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

377. 组合总和 Ⅳ

题目链接
视频讲解
给你一个由不同整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数
题目数据保证答案符合 32 位整数范围

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7

本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列！
弄清什么是组合，什么是排列很重要
组合不强调顺序，(1,5)和(5,1)是同一个组合
排列强调顺序，(1,5)和(5,1)是两个不同的排列
但其本质是本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来
如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜
动规五部曲分析如下：
确定dp数组以及下标的含义
dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]
确定递推公式
dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]）推导出来
因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分
在动态规划：494.目标和和动态规划：518.零钱兑换II 中求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];本题也一样
dp数组如何初始化
因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础
至于dp[0] = 1 有没有意义呢？
其实没有意义，所以我也不去强行解释它的意义了，因为题目中也说了：给定目标值是正整数！所以dp[0] = 1是没有意义的，仅仅是为了推导递推公式
至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢？
初始化为0，这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]
确定遍历顺序
个数可以不限使用，说明这是一个完全背包
得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序
本题要求的是排列，那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品
如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！
所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历
举例来推导dp数组
我们再来用示例中的例子推导一下：
在这里插入图片描述

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
};