一、Prim算法

Prim算法是一种贪心算法，用于求解加权无向图的最小生成树问题。其中，最小生成树是指一个边的子集，它连接图中的所有顶点，且边的总权重最小，并且没有形成环。

对于Prim算法的简单了解，这里推荐看看：【图-最小生成树-Prim(普里姆)算法和Kruskal(克鲁斯卡尔)算法】

二、题目与题解

题目：卡码网 53. 寻宝

题目链接

53. 寻宝（第七期模拟笔试） (kamacoder.com)

题目描述

在世界的某个区域，有一些分散的神秘岛屿，每个岛屿上都有一种珍稀的资源或者宝藏。国王打算在这些岛屿上建公路，方便运输。

不同岛屿之间，路途距离不同，国王希望你可以规划建公路的方案，如何可以以最短的总公路距离将 所有岛屿联通起来（注意：这是一个无向图）。 

给定一张地图，其中包括了所有的岛屿，以及它们之间的距离。以最小化公路建设长度，确保可以链接到所有岛屿。

输入描述

第一行包含两个整数V 和 E，V代表顶点数，E代表边数 。顶点编号是从1到V。例如：V=2，一个有两个顶点，分别是1和2。

接下来共有 E 行，每行三个整数 v1，v2 和 val，v1 和 v2 为边的起点和终点，val代表边的权值。

输出描述

输出联通所有岛屿的最小路径总距离

输入示例

7 11
1 2 1
1 3 1
1 5 2
2 6 1
2 4 2
2 3 2
3 4 1
4 5 1
5 6 2
5 7 1
6 7 1

输出示例

6

提示信息

数据范围：
2 <= V <= 10000;
1 <= E <= 100000;
0 <= val <= 10000;

如下图，可见将所有的顶点都访问一遍，总距离最低是6.

  

题解：Prim算法

建议先看视频了解了Prim算法的实现步骤再看以下思路和步骤。

基本思路：

1.选择一个起始顶点，将其标记为已访问，并将其距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大

2.创建一个循环，直到所有顶点都被访问：

        初始化一个变量来记录当前最小边的权重，将其设置为无穷大。

        初始化两个变量来记录最小边的两个顶点。

3.遍历所有已访问顶点，对于每个已访问顶点，遍历它的所有邻接顶点：

        如果邻接顶点未被访问，并且连接这两个顶点的边的权重小于当前记录的最小边权重，则更新最小边权重和对应的两个顶点。

        将找到的最小边加入到最小生成树中，并标记连接的非最小生成树顶点为已访问。 更新该顶点的所有邻接顶点到最小生成树的最短距离。

4.当所有顶点都被访问后，算法结束，此时最小生成树由记录的所有边组成。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int v, e;
    int x, y, k;
    cin >> v >> e;                                              // 输入顶点数v（注意范围是：1 - v）和边数e
    vector<vector<int>> grid(v + 1, vector<int>(v + 1, 10001)); // 二维数组grid，用于存储图的邻接矩阵，初始值为10001（表示无穷大）
    while (e--)
    {
        cin >> x >> y >> k; // 输入边的两个顶点和权值
        // 因为是双向图，所以两个方向都要填上
        grid[x][y] = k;
        grid[y][x] = k;
    }
    // 用于存储每个顶点到最小生成树的最短距离 -- 由于顶点数为v，这里大小设置为v+1
    vector<int> minDist(v + 1, 10001);
    // 初始化第一个顶点到最小生成树的距离为0
    minDist[1] = 0;

    // 用于标记顶点是否已经在最小生成树中
    vector<bool> isInTree(v + 1, false);

    // 我们只需要循环 n-1次，因为最小生成树有v-1条边，这样就可以把n个节点的图连在一起
    for (int i = 1; i < v; i++)
    {
        // 选择距离最小生成树最近的顶点
        int cur = -1;                // 当前选中的顶点 -- 最终选中的cur节点即是加入最小生成树的最近节点
        int minVal = INT_MAX;        // 当前最小距离，初始化为无穷大
        for (int j = 1; j <= v; j++) // 顶点编号：1 - v
        {
            if (!isInTree[j] && minDist[j] < minVal) // 选择不在最小生成树中且距离最小的顶点
            {
                minVal = minDist[j];
                cur = j;
            }
        }
        // 最近节点（cur）加入生成树
        isInTree[cur] = true;

        // 更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）：由于新加入了cur节点，这里只需要多考虑cur与不在最小生成树的节点的距离即可
        for (int j = 1; j <= v; j++)
        {
            if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) // 如果顶点j不在生成树中，并且通过cur到j的距离小于当前记录的最短距离，则更新
            {
                minDist[j] = grid[cur][j];
            }
        }
    }
    int ans = 0;                 // 统计结果
    for (int i = 2; i <= v; i++) // 累加每个顶点到生成树的最短距离，注意从第二个顶点开始累加，因为第一个顶点距离为0
    {
        ans += minDist[i];
    }
    cout << ans << endl;
}

这题还可以用优先队列（堆）进行优化，这也是Prim算法最经典的使用方法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int v, e;
    cin >> v >> e; // 输入顶点数v和边数e

    // 使用邻接矩阵存储图的边信息，初始化为无穷大
    vector<vector<int>> grid(v + 1, vector<int>(v + 1, INT_MAX));

    // 读取边的信息
    for (int i = 1; i <= e; ++i)
    {
        int x, y, k;
        cin >> x >> y >> k; // 输入边的两个顶点和权值
        grid[x][y] = k;
        grid[y][x] = k;
    }

    // 使用优先队列来存储顶点及其到最小生成树的最短距离
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;

    // 用于存储每个顶点到最小生成树的最短距离，初始化为无穷大
    vector<int> minDist(v + 1, INT_MAX);
    minDist[1] = 0; // 第一个顶点到最小生成树的距离为0

    // 标记顶点是否已经在最小生成树中
    vector<bool> isInTree(v + 1, false);

    // 将第一个顶点加入优先队列
    pq.push({0, 1});

    while (!pq.empty())
    {
        // 从优先队列中取出距离最小生成树最近的顶点
        int cur = pq.top().second;
        pq.pop();

        // 如果该顶点已经在最小生成树中，则跳过
        if (isInTree[cur])
            continue;

        // 将该顶点标记为已加入最小生成树
        isInTree[cur] = true;

        // 更新邻接顶点到最小生成树的最短距离
        for (int j = 1; j <= v; ++j)
        {
            if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j])
            {
                minDist[j] = grid[cur][j];
                pq.push({minDist[j], j}); // 将更新后的顶点和距离加入优先队列
            }
        }
    }

    // 计算最小生成树的总权重
    int ans = 0;
    for (int i = 2; i <= v; ++i)
    {
        ans += minDist[i];
    }

    cout << ans << endl; // 输出最小生成树的总权重
    return 0;
}

 三、小结

今天的打卡比较仓促，后边有时间会对上述代码的内容以及注释进行改善，并加深自己的理解。后边继续加油！