OpenCV结构分析与形状描述符（13）拟合椭圆函数fitEllipseDirect()的使用

操作系统：ubuntu22.04
OpenCV版本：OpenCV4.9
IDE:Visual Studio Code
编程语言：C++11

算法描述

围绕一组2D点拟合一个椭圆。
该函数计算出一个椭圆，该椭圆拟合一组2D点。它返回一个内切于该椭圆的旋转矩形。使用了由[91]提出的直接最小二乘法（Direct）方法。

对于椭圆，这个基集是 $\chi= \left(x^2, x y, y^2, x, y, 1\right)$ ，这是一个包含六个自由系数的集合 $A^T=\left\{A_{\text{xx}},A_{\text{xy}},A_{\text{yy}},A_x,A_y,A_0\right\}$ 然而，要指定一个椭圆，只需要五个数字；主轴和次轴的长度 $(a, b)$ ,位置 $x_0,y_0)$ ，以及方向 θ。这是因为空间中还包含了直线、二次函数、抛物线和双曲线函数作为可能的拟合。直接方法通过确保 $4 A_{xx} A_{yy}- A_{xy}^2 > 0$ 来将拟合限定为椭圆。施加的条件是 $4 A_{xx} A_{yy}- A_{xy}^2=1$ ,这满足了不等式，并且由于系数可以任意缩放，因此这一条件并不过于限制

$\begin{equation*} \epsilon ^2= A^T D^T D A \quad \text{其中} \quad A^T C A =1 \quad \text{并且} \quad C=\left(\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \end{equation*}$

最小成本是通过求解广义特征值问题找到的。
$\begin{equation*} D^T D A = \lambda \left( C\right) A \end{equation*}$
系统只产生一个正的特征值 λ，该特征值被选作解，并且其特征向量u也被选出。这些值用来找到系数
$\begin{equation*} A = \sqrt{\frac{1}{\mathbf{u}^T C \mathbf{u}}} \mathbf{u} \end{equation*}$
缩放因子保证了 $A^T C A =1$

fitEllipseDirect 是 OpenCV 中用于拟合椭圆的一个函数，它使用了直接线性最小二乘法（Direct Least Squares Fit）来进行椭圆拟合。这种方法通常比其他方法更快，但也可能在某些情况下不如其他方法稳健。

函数原型


RotatedRect cv::fitEllipseDirect
(
	InputArray 	points
)

参数

参数points 输入的2D点集，存储在 std::vector<> 或 Mat 中。

代码示例


#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>

using namespace std;
using namespace cv;

int main()
{
    // 创建一个空白图像
    Mat img( 400, 400, CV_8UC3, Scalar( 255, 255, 255 ) );

    // 创建一组2D点
    vector< Point2f > points;
    points.push_back( Point2f( 100, 100 ) );
    points.push_back( Point2f( 200, 100 ) );
    points.push_back( Point2f( 200, 200 ) );
    points.push_back( Point2f( 100, 200 ) );
    points.push_back( Point2f( 150, 150 ) );
    points.push_back( Point2f( 150, 250 ) );
    points.push_back( Point2f( 250, 150 ) );
    points.push_back( Point2f( 250, 250 ) );

    // 拟合椭圆
    RotatedRect ellipse = fitEllipseDirect( points );

    // 获取椭圆的四个顶点
    vector< Point2f > boxPoints;
    boxPoints.resize( 4 );  // 确保boxPoints至少有4个元素
    ellipse.points( boxPoints.data() );

    // 将 Point2f 转换为 Point
    vector< Point > intBoxPoints;
    for ( const auto& pt : boxPoints )
    {
        intBoxPoints.push_back( Point( static_cast< int >( pt.x ), static_cast< int >( pt.y ) ) );
    }

    // 在原图上绘制椭圆
    polylines( img, intBoxPoints, true, Scalar( 0, 0, 255 ), 2, LINE_8 );

    // 绘制点集
    for ( const auto& pt : points )
    {
        circle( img, pt, 5, Scalar( 0, 255, 0 ), -1 );
    }

    // 显示结果
    imshow( "Ellipse Fitting (Direct)", img );
    waitKey( 0 );

    return 0;
}