3. 线性空间

令${\text{K}}^n:=\{(a_1,a_2,...,a_n)|a_i\in \text{K},i=1,2,...,n\}$，称为$n$维向量
规定（规定的符号是$:=$）

• 向量相等：$(a_1,a_2,...,a_n)=(b_1,b_2,...,b_n)\iff a_i=b_i,i=1,2,...,n$
• 向量加法：$(a_1,a_2,...,a_n)+(b_1,b_2,...,b_n):=(a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)$
• 数量乘法：$k(a_1,a_2,...,a_n):=(k{a}_1,k{a}_2,...,k{a}_n)$
• 零向量：$0=(0,0,...,0)$称为零向量

平面上以原点$O$为起点的所有向量组成的集合，直线上以定点$O$为起点的所有向量组成的集合……将这些做一个抽象的概括，称为线性空间。

3.1 线性空间的定义

若对应法则$f:A⟶B$满足每一个$a$都对应唯一的一个$b$，即$a⟼b$，则称$f$是集合$\text{A}$到$\text{B}$的一个映射，$b$称为$a$在映射$f$下的像，记作$f(a)$；$a$称为$b$在$f(a)$下的一个原像。$\text{A}$称为定义域（domain），$\text{B}$称为陪域（codomain），$f$的值域（或像） Im f = f ( A ) : = { f ( a ) ∣ a ∈ A } \text{Im}f=f(A):=\{f(a)|a\in\textbf{A}\} Imf=f(A):={f(a)∣a∈A}，若$f(A)=B$（教室里坐满了同学），则$f$称为满射，若$\text{A}$中不同元素在$f$下的像不同，则称$f$是单射。若$f$既是单射又是满射，则$f$称为一个双射（一一对应）。

【GPT】当我们在讨论函数（或映射）的类型时，通常会遇到三个重要的概念：单射（Injective）、满射（Surjective）和双射（Bijective）。下面我将用简单的语言来解释这些概念：

1. 单射（Injective）：
   想象一下你在组织一个舞会，每个人都需要戴一顶独特的帽子。如果每个人的帽子都不一样，这样你就能通过帽子来区分每个人。在数学上，如果一个函数是单射的，那么每当函数给出相同的输出时，这些输入也是相同的。换句话说，不同的输入将产生不同的输出，就像每个人有不同的帽子一样。形式上如果$f(a)=f(b)$意味着$a=b$，那么这个函数是单射的
2. 满射（Surjective）：还是那个舞会的例子，这次的目标是确保每顶帽子都有人戴。如果你做到了这一点，那么这就是一个满射。在数学上，一个函数被称为满射，如果它的输出完全覆盖了目标集合中的每个元素。也就是说，每个可能的输出至少有一个输入与之对应。形式上，如果对于目标集合中的每个元素$y$，都存在至少一个输入$x$，使得$f(x)=y$，那么这个函数就是满射。
3. 双射（Bijective）：如果你的舞会同时满足上述两个条件：每个人的帽子都是独一无二的，而且每顶帽子都有人戴，那么这就是一个完美的匹配。在数学上，一个同时是单射和满射的函数被称为双射。双射函数意味着输入和输出之间有一一对应的关系，就像完美配对的舞伴一样。形式上，如果一个函数既是单射又是满射，那么它就是双射。

3.2 笛卡尔积

有两个集合$\text{S}\times \text{M}:=\{(a,b)|a\in \text{S},b\in \text{M}\}$，称为$\text{S}$与$\text{M}$的笛卡尔积。
【定义1】非空集合$\text{S}$上的一个代数运算指$\text{S}\times \text{S}$到$\text{S}$的一个映射。

【例】在整数集合中$\mathbb{Z}$
$$\begin{array}{c}2+3=5\\ (2,3)⟼5\end{array}$$

$$\begin{array}{c}2\times 3=5\\ (2,3)⟼6\end{array}$$

除法不是整数集的运算

【定义2】设$\text{V}$是一个非空集合，$\text{K}$是一个数域，如果$\text{V}$上有一个运算称为加法，即$(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })⟼\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }$，数域$\text{K}$与$\text{V}$之间有一个运算，称为数量乘法，即$\text{K}\times \text{V}⟶\text{V}:(k,\mathbf{\alpha })⟼k\mathbf{\alpha }$，并且满足下述8条运算法则：

1. 加法的交换律：$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=\mathbf{\beta }+\mathbf{\alpha },\forall \mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in \text{V}$；
2. 加法的结合律：$(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })+\mathbf{\gamma }=\mathbf{\alpha }+(\mathbf{\beta }+\mathbf{\gamma }),\forall \mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }\in \text{V}$；
3. $\text{V}$中有一个元素，记成$0$，它有下述性质：$0+\mathbf{\alpha }=\mathbf{\alpha }+0=\mathbf{\alpha },\forall \mathbf{\alpha }\in \text{V}$，把$0$称为$\text{V}$的零元；
4. 对于$\mathbf{\alpha }\in \text{V}$，有$\mathbf{\beta }\in \text{V}$，使得$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=0$，把$\mathbf{\beta }$称为$\mathbf{\alpha }$的负元；
5. $1\mathbf{\alpha }=\mathbf{\alpha },\forall \mathbf{\alpha }\in \text{V}$
6. $(kl)\mathbf{\alpha }=k(l\mathbf{\alpha }),\forall k,l\in \text{K},\mathbf{\alpha }\in \text{V}$
7. $(k+l)\mathbf{\alpha }=k\mathbf{\alpha }+l\mathbf{\alpha },\forall k,l\in \text{K},\mathbf{\alpha }\in \text{V}$
8. $k(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })=k\mathbf{\alpha }+k\mathbf{\beta },\forall k\in \text{K},\mathbf{\alpha }\in \text{V}$

这样的集合$\text{V}$就称为数域$\text{K}$上的一个线性空间。把$\text{V}$中的元素称为一个向量。线性空间也可以称为向量空间。

3.3 线性空间的性质

回顾上节课：
【例1】几何空间是由点组成的集合，{以顶点O为起点的所有向量组成}的集合。
【例2】${\text{K}}^n:=\{(a_1,a_2,...,a_n)|a_i\in \text{K}\}$是数域$\text{K}$上的一个线性空间，$(a_1,a_2,...,a_n)$为$n$维度向量，$a_i,i=1,2,...,n$为分量。
由此建立了线性空间的模型，给出了线性空间的定义。

【例3】非空集合$\text{X}$到实数域$\mathbb{R}$的映射称为定义域为$X$上的一个实值函数。把所有这种映射组成一个集合， { 非空集合 X 到实数域 R 的映射 } \{非空集合\textbf{X}到实数域\mathbb{R}的映射\} {非空集合X到实数域R的映射}，规定$(f+g)(x):=f(x)+g(x),\forall x\in \text{X}$，$(kf)(x):=kf(x),k\in \mathbb{R},\forall x\in \text{X}$，零函数$0(x):=0,\forall x\in \text{X}$
容易验证这个集合是实数域$\mathbb{R}$上的一个线性空间，记作 R X : = { 非空集合 X 到实数域 R 的映射 } \mathbb{R}^{\textbf{X}}:=\{非空集合\textbf{X}到实数域\mathbb{R}的映射\} RX:={非空集合X到实数域R的映射}

假设$\text{V}$是数域$\text{K}$上的线性空间
（1）$\text{V}$的零元是唯一的；
【证】反证法，设$0_1,0_2$都是$\text{V}$的零元，则$0_1=0_1+0_2=0_2+0_1=0_2$，矛盾
所以$\text{V}$的零元是唯一的。
（2）每个$\mathbf{\alpha }\in \text{V}$的负元唯一，记作$-\mathbf{\alpha }$；
【证】反证法，设${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2$都是$\mathbf{\alpha }\in \text{V}$的负元，则
${\mathbf{\beta }}_1+(\mathbf{\alpha }+{\mathbf{\beta }}_2)={\mathbf{\beta }}_1+0={\mathbf{\beta }}_1$
${\mathbf{\beta }}_1+(\mathbf{\alpha }+{\mathbf{\beta }}_2)=({\mathbf{\beta }}_1+\mathbf{\alpha })+{\mathbf{\beta }}_2=(\mathbf{\alpha }+{\mathbf{\beta }}_1)+{\mathbf{\beta }}_2={\mathbf{\beta }}_2$
所以${\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\beta }}_2$
矛盾
所以每个$\mathbf{\alpha }\in \text{V}$的负元唯一；
（3）$0\mathbf{\alpha }=0,\forall \mathbf{\alpha }\in \text{V}$
【证】$0\mathbf{\alpha }=(0+0)\mathbf{\alpha }=0\mathbf{\alpha }+0\mathbf{\alpha }$两边加上$-0\mathbf{\alpha }$
则$0=-0\mathbf{\alpha }+0\mathbf{\alpha }=0\mathbf{\alpha }+0\mathbf{\alpha }+(-0\mathbf{\alpha })=0\mathbf{\alpha }+(0\mathbf{\alpha }-0\mathbf{\alpha })=0\mathbf{\alpha }$
所以$0\mathbf{\alpha }=0,\forall \mathbf{\alpha }\in \text{V}$
（4）$k0=0,\forall k\in \text{K}$
【证】$k0=k(0+0)=k0+k0$
两边同时加$-k0$
则$0=-k0+k0=k0+k0+(-0)=k0+(k-k)0=k0$
所以$k0=0,\forall k\in \text{K}$
（5）若$k\mathbf{\alpha }=0$，则$k=0$或$\mathbf{\alpha }=0$
【证】假设$k\ne 0$，则$\mathbf{\alpha }=1\mathbf{\alpha }=(k^{-1}k)\mathbf{\alpha }=k^{-1}(k\mathbf{\alpha })$
由于$k\mathbf{\alpha }=0$
则$k^{-1}(k\mathbf{\alpha })=k^{-1}0=0$
所以$k=0$或$\mathbf{\alpha }=0$
(6)$(-1)\mathbf{\alpha }=-\mathbf{\alpha },\forall \mathbf{\alpha }\in \text{V}$
【证】按负元的定义：
$\mathbf{\alpha }+(-1)\mathbf{\alpha }=1\mathbf{\alpha }+(-1)\mathbf{\alpha }=(1+(-1))\mathbf{\alpha }=0\mathbf{\alpha }=0$
因此$(-1)\mathbf{\alpha }$是$\mathbf{\alpha }$的负元
所以$(-1)\mathbf{\alpha }=-\mathbf{\alpha },\forall \mathbf{\alpha }\in \text{V}$

【例】平面$\pi$上的以点$O$为起点的向量构成一个线性空间，即平面$\pi$是一个线性空间，其子集是线性子空间。

3.4 线性子空间

【定义1】设$\text{V}$是数域$\text{K}$上的一个线性空间，$\text{U}$是$\mathbf{\alpha }$的一个非空子集，如果$\text{U}$对于$\text{V}$的加法和数量乘法也成为数域$\text{K}$上的一个线性空间，称$\text{U}$是$\text{V}$的线性子空间，简称为子空间。
【定理1】$\text{V}$的非空子集$\text{U}$是子空间$\iff$
（1）$\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in \text{U}$，则$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }\in \text{U}$（$\text{U}$对于$\text{V}$的加法封闭）
（2）若$\mathbf{\alpha }\in \text{U}$，则$k\mathbf{\alpha }\in \text{U}$（$\text{U}$对于$\text{V}$的数乘封闭）
【证】$\Rightarrow$由定义1得到
$\Leftarrow$，$\text{V}$的加法和数乘限制到$\text{U}$上就是$\text{U}$的加法和数乘。
显然，八条运算法则中，加法交换律，结合律……都成立，对于第三条有没有零元 负元，需要证明
由于$\text{U}$是非空的，因此$\mathbf{\beta }\in \text{U}$，从而$0=0\mathbf{\beta }\in \text{U}$（已知条件，数乘封闭），每一个$\mathbf{\alpha }$，因此$-=(-1)\mathbf{\alpha }\in \text{U}$，从而$\text{U}$称为数域$\text{K}$上的一个线性空间，于是$\text{U}$是$\text{V}$的子空间。

• { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0}，可记成$\text{0}$，是$\text{V}$的零子空间。
• 按一定顺序写出有限多个向量${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$称为向量组
• 将$k{\mathbf{\alpha }}_1+k{\mathbf{\alpha }}_2+...+k{\mathbf{\alpha }}_s(k_1,k_2,...,k_s\in \text{K})$称为向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$的一个线性组合。所有的线性组合组成的集合 W = { k α 1 + k α 2 + . . . + k α s ∣ k 1 , k 2 , . . . , k s ∈ K } , 0 ∈ W \textbf{W}=\{k\boldsymbol\alpha_{1}+k\boldsymbol\alpha_{2}+...+k\boldsymbol\alpha_{s}|k_{1},k_{2},...,k_{s}\in\textbf{K}\},\textbf{0}\in\textbf{W} W={kα1​+kα2​+...+kαs​∣k1​,k2​,...,ks​∈K},0∈W，容易验证，$\text{W}$对于$\text{V}$的加法和数量乘法封闭，因此$\text{W}$是$\text{V}$的一个子空间，称它为由向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$生成的子空间，记作$<{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s>$或$L({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s)$
• $\mathbf{\beta }\in <{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s>\iff$存在$\text{K}$中一组数$l_1,l_2,...,l_s$使得$\mathbf{\beta }=l_1{\mathbf{\alpha }}_1+l_2{\mathbf{\alpha }}_2+...+l_s{\mathbf{\alpha }}_s$，此时称$\mathbf{\beta }$可以由${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性表出。

3.5 数域K上的$n$元线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+...+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ...\\ a_{s1}{x}_1+...+a_{sn}{x}_n=b_s\end{array}$$
记${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{12}\\ ⋮\\ a_{s1}\end{array}\right),...,{\mathbf{\alpha }}_n=\left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ ⋮\\ a_{ns}\end{array}\right),\mathbf{\beta }=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_s\end{array}\right)$（列向量）
于是上述方程组可以看成$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+x_n{\mathbf{\alpha }}_n=\mathbf{\beta }$.
方程组$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+x_n{\mathbf{\alpha }}_n=\mathbf{\beta }$有解$\iff$有$\text{K}$中一组数$c_1,c_2,...,c_s$，使得$c_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+c_n{\mathbf{\alpha }}_n=\mathbf{\beta }\iff \mathbf{\beta }$可以由列向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_n$线性表出