目录

一. 引入

二. 密文与明文

2.1 通俗性理解

2.2 定理

2.3 定理理解

三. 语义安全的第一个版本

3.1 基本理解

3.2 定理

3.3 定理理解

四. 语义安全的第二个版本

4.1 直观解释

4.2 小结

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一. 引入

密码学中安全加密要求：敌手（adversary）根据密文（ciphertext）不能推导出关于明文（plaintext）的任何信息。

本文将重点介绍语义安全（semantic security）的理解。

二. 密文与明文

2.1 通俗性理解

密码学的目标：密文不会泄露明文的任何一比特信息。

Enc：加密方案

Dec：解密方案

Gen：产生密钥。在不外加条件的情况下，通常认为Gen算法输出的密钥为n比特的均匀分布。

Message：明文。l比特可写作：

在理想条件下，攻击者在拿到密文后，猜测明文m的第i个比特（可以写做）的概率为1/2.也就等同于胡乱猜测。

2.2 定理

PPT：probabilistic polynomial-time algorithm 概率多项式时间算法

negl：negligible 可忽略函数

假定某对称加密方案的明文是固定长度的，写做：

明文的长度为l，第i位比特。

给定任意的PPT敌手A，以下式子是满足的：

通常认为明文m与密钥k是均匀分布的：

需要注意的是，敌手A是具有随机性的。加密算法Enc也是有随机性的。

2.3 定理理解

证明过程比较繁琐，建议了解的小伙伴略过此部分。

本小节给出一个有意思的安全性归约证明（proofs by reduction）。

对于密文Enc(m)，如果敌手可以确定出明文的第i个比特会发生什么？

换句话说，如果有两个明文m0与m1，这两个明文的第i个比特不一样。敌手就可以区分出这两个明文对应的密文。很明显这违反了我们加密的目标。

密码学需要构造两个敌手A和A'，通过归约证明，来验证安全性。

引入一个PPT的敌手A，以及比特i：

第一个集合I0代表所有第i个比特为0的比特串：

第二个集合I1代表所有第i个比特为0的比特串：

明文m0要么来自于I0，要么来自于I1.而且两者的概率肯定是相等的。由此可得：

两个概率均代表敌手猜对的概率。

接下来我们构建另外一个敌手A'

第一步：均匀选取m0与m1，如下：

第二步：给定密文c。将密文c输入到敌手A的程序中：

如果A输出0，那么b'=0;如果A输出1，那么b'=1.

因为A是多项式时间的，所以A'也是多项式时间的。

对于敌手A'来讲，将其试验的结果表示为：

核心：当A成功时，A'也就成功了。由此可得：

第一个概率代表A'的试验输出1，也就是A'成功的概率；

第二个概率代表A成功的概率；

第三行代表分成两种情况；

第四行代表猜对明文m的第i个比特。

因为密码方案（Enc,Dec）是安全的。所以A'成功的概率是不会优于1/2，也就是：

最终可得敌手A不会猜出明文m的任意1比特信息：

三. 语义安全的第一个版本

3.1 基本理解

更进一步的目标：给定明文m的分布D,我们希望没有PPT敌手可以从密文学习到关于明文m的任意函数f信息。

我们希望给定密文Enc(m)，敌手正确计算f(m)；

敌手根据m的分布，直接计算f(m)；

我们希望这两者的概率是一样的。也就是密文并没有起到任何辅助的作用，这样才能满足密码学的要求。

3.2 定理

(Enc,Dec）:固定明文长度的对称加密方案，其中明文长度为l

明文的分布为D：

A与A'均为PPT算法

函数f定义为：

以下两个概率相减是可忽略的：

第一个概率：明文m是根据分布D选取的，密钥k是n长的均匀分布。算法A与加密Enc本身会引入随机性。

第二个概率：明文m是根据分布D选取的，算法A'会引入随机性。

3.3 定理理解

证明过程比较繁琐，建议了解的小伙伴略过此部分。

假定有两种明文。第一个是从分布D中随机选取，第二个是全为1的比特串，也就是：

如果加密方案是安全的，那么PPT敌手无法区分这两个密文。

接下来我们按密码学的语言来进行解释。

从分布D中选取m0.

确定m1为：

密文c可以是对m0进行加密，也可以是对m1进行加密。

将该密文输入到算法A中。如果A可以输出f(m)，那么试验结果为0.

情况1：给定对m的加密，输出f(m)

情况2：给定对全为1的加密，输出f(m)

这两者其实是相等的。

四. 语义安全的第二个版本

本小节介绍是最全面的版本。

4.1 直观解释

明文为任意分布，可以由某些多项式时间算法产生Samp

可以允许敌手额外获取某些关于明文的信息h(m)。

消息的长度是任意的，该长度敌手可获取。|m|代表明文的长度

综上目前有两个多项式时间可计算的函数f与h

语义安全要求以下表达式是可忽略的：

明文输入依靠算法：

密钥k均匀选取，Enc和A，还有A'本身具有随机性。

第一个概率理解：敌手A拥有密文Enc(m）,外部信息h(m)。尝试猜测f(m)的值

第二个概率理解：A'的目标也是尝试猜测f(m)的值，但只知道m的长度与h(m)的值。

语义安全要求A和A'猜测的概率是相等的。

换句话说，语义安全要求密文Enc(m)不会泄露关于f(m)的任何信息。

4.2 小结

语义安全跟不可区分安全是等效的。