【傅里叶分析】复数基础知识
- 复数
- 复数的几何意义
- 与点的对应
- 与向量的对应
- 复数与极坐标
- 辐角与辐角主值
- 三角函数
- 参考文献
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复变函数是傅里叶分析的基础，而复数是复变函数的基础。本文介绍了一些基础的关于复数的知识。
复数
对任意两个实数 x , y x, y x,y，有复数 z = x + i y z=x+iy z=x+iy，其中 i 2 = − 1 i^2=-1 i2=−1， i i i称为虚部。
也可以将复数 z z z的实部表示为 R e ( z ) = x Re(z)=x Re(z)=x，虚部表示为 I m ( z ) = y Im(z)=y Im(z)=y
复数的几何意义
与点的对应
如果以复数的实部为横轴、虚部为纵轴建立坐标系，则这个坐标系称为复平面
这样复数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi就和复平面上的点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)一一对应
复平面的横坐标称为实轴，纵坐标表称为虚轴
与向量的对应
复数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi还可以和平面向量 O Z → = ( x , y ) \overrightarrow{OZ}=(x,y) OZ=(x,y)一一对应（实数0与零向量对应）
因此复数的模和向量的模计算方式相同。复数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi的模 ∣ z ∣ = x 2 + y 2 |z|=\sqrt{x^2+y^2} ∣z∣=x2+y2
复数与极坐标
辐角与辐角主值
表示复数
z
z
z的位置，也可以借助极坐标
(
r
,
θ
)
(r,\theta)
(r,θ)。那么
r
r
r就是复数的模，而
θ
\theta
θ则为复数与实轴正方向的夹角，且满足：
tan
θ
=
y
x
\tan \theta=\frac{y}{x}
tanθ=xy
θ
\theta
θ称为复数
z
z
z的辐角，记为：
θ
=
A
r
g
z
\theta = {\rm Arg} \, z
θ=Argz
正切函数是周期函数，任一非零复数都有无数个辐角，所以
A
r
g
z
{\rm Arg}\,z
Argz实际上是一个集合。但是该集合中只有一个
θ
\theta
θ满足条件：
−
π
<
θ
<
π
{-} \pi < \theta < \pi
−π<θ<π
将这个
θ
\theta
θ记为
a
r
g
z
{\rm arg}\, z
argz，即辐角主值或主辐角。
辐角的集合则可以表示为
A
r
g
z
=
{
a
r
g
z
+
2
k
π
∣
k
∈
Z
}
{\rm Arg} \, z=\{{\rm arg}\, z+2k \pi \,|\, k \in \mathbf{Z}\}
Argz={argz+2kπ∣k∈Z}
三角函数
在极坐标中，复数
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z=x+iy在实轴和虚轴上的值都可以用三角函数来表示：
{
x
=
r
cos
θ
y
=
r
sin
θ
\begin{cases} x=r\, \cos \theta \\ y=r\, \sin \theta \end{cases}
{x=rcosθy=rsinθ
由此，复数本身也可以用三角函数来表示：
z
=
r
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
z=r(\cos \theta + i \, \sin \theta)
z=r(cosθ+isinθ)
参考文献
- 复变函数：复数基本知识、欧拉公式、复变函数的导数、解析函数
- Oi Wiki网-数学-复数
