利用换元法计算积分的常见题型(考研高数复习)

考研中常见的几种换元法积分计算题

(1)被积式仅包含一个根式:根号下为有 a a a x x x 的平方和/平方差

此种类型的积分题型,可以通过构造单个锐角大小为 t t t 的直角三角形,利用勾股定理和三角函数进行代换。

平方和的情况
  • 形如

∫ R ( x , x 2 + a 2 ) d x \int{R(x,\sqrt{x^2 + a^2})dx} R(x,x2+a2 )dx
在这里插入图片描述

平方差的情况
  • 形如

∫ R ( x , x 2 − a 2 ) d x \int{R(x,\sqrt{x^2 - a^2})dx} R(x,x2a2 )dx
在这里插入图片描述

∫ R ( x , a 2 − x 2 ) d x \int{R(x,\sqrt{a^2 -x^2})dx} R(x,a2x2 )dx
在这里插入图片描述

(2)被积式包含两个根指数不一样的根式:根号下为同一个含 x x x 的线性函数

  • 形如
    ∫ R ( x , a x + b n , a x + b m ) d x \int{R(x,\sqrt[n]{ax+b},\sqrt[m]{ax+b})dx} R(x,nax+b ,max+b )dx

代换中令
t = a x + b n m t=\sqrt[nm]{ax+b} t=nmax+b
x x x 可写成含 t t t 的表达式
x = t n m − b a − c t 2 x=\frac{t^{nm}-b}{a-ct^2} x=act2tnmb
代换后,积分式中的 d x dx dx​ 可以写成
d x = 2 1 + t 2 d t dx=\frac{2}{1+t^2}dt dx=1+t22dt

(3)被积式仅包含一个根式:根号下为两个含有 x x x 的线性函数相除

  • 形如

∫ R ( x , a x + b c x + d ) d x \int{R(x,\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}})dx} R(x,cx+dax+b )dx

代换中令
t = a x + b c x + d t=\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}} t=cx+dax+b
x x x 可写成含 t t t 的表达式
x = d t 2 − b a − c t 2 x=\frac{dt^2-b}{a-ct^2} x=act2dt2b
代换后,积分式中的 d x dx dx 可以写成
d x = 2 ( a d − b c ) t ( a − c t 2 ) 2 d t ,其中 a d − b c ≠ 0 dx=\frac{2(ad-bc)t}{(a-ct^2)^2}dt,其中ad-bc\ne0 dx=(act2)22(adbc)tdt,其中adbc=0

(4)含三角函数 sin ⁡ x \sin x sinx cos ⁡ x \cos x cosx 的积分式

  • 形如
    ∫ R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) d x \int{R(\sin x,\cos x)dx} R(sinx,cosx)dx

代换中令
t = tan ⁡ x 2 t=\tan\frac{x}{2} t=tan2x

sin ⁡ x 、 cos ⁡ x \sin x、\cos x sinxcosx 均可写成含 t t t 的表达式
sin ⁡ x = 2 t 1 + t 2 \sin x=\frac{2t}{1+t^2} sinx=1+t22t

cos ⁡ x = 1 − t 2 1 + t 2 \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} cosx=1+t21t2

代换后,积分式中的 d x dx dx 可以写成
d x = 2 1 + t 2 d t dx =\frac{2}{1+t^2}dt dx=1+t22dt

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