Ch7. 参数估计

7.1 点估计

1.矩估计

$p_i(\theta )$、$f(x_i,\theta )$，用矩估计法来估计未知参数θ

$\{\begin{array}{rl}\bar{X}=& E(X)\\ \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2=& E(X^2)\end{array}$

注意：
1.矩估计量：大写
矩估计值：小写

2.离散型和连续型随机变量
求矩估计的区别，只在于求期望的方法不一样。
而求最大似然估计，则是似然函数的求法不一样。

---

例题1：23李林六套卷(三)22.(2)
若θ为未知参数，利用总体Z的样本值$-2,0,0,0,2,2$求$\theta$的矩估计值。且Z的分布律为

$Z$	$-2$	$0$	$2$
$P_k$	$\theta$	$1-2\theta$	$\theta$

答案：

例题2：09年23(1)

分析：
①矩估计，求期望
②最大似然估计，求似然函数L(θ)，取对数lnL(θ)，令导数为0即令 $\frac{\mathrm{dlnL}(\theta )}{\mathrm{d}\theta }=0$

答案：

例题3：13年23.（难度：易）

---

2.最大似然估计

最大似然估计求的是，θ为多少时，使得L(θ)最大

(1)离散型

求离散型随机变量的最大似然估计量：
离散型的似然函数 $L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}p(x_i,\theta )$
离散型，一定会给出样本值，然后似然函数L(θ)即为每个样本的概率的乘积。

(2)连续型

求连续型随机变量的最大似然估计量，连续型的似然函数L(θ)
$$L(\theta )=L(x_1,x_2,...,x_n;\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta )(x_i>0,i=1,2,...n)$$

求最大似然估计量/值
①求似然函数 L(θ)   (x_i>0/θ,i=1,2,…n)
②取对数，求 lnL(θ)
③令 $\frac{\mathrm{dlnL}(\theta )}{\mathrm{d}\theta }=0$，求出 $\hat{\theta }$
④最大似然估计值为x_i，最大似然估计量为X_i

若 $\frac{\mathrm{dlnL}(\theta )}{\mathrm{d}\theta }\ne 0$
有的题，在③这一步发现 $\frac{\mathrm{dlnL}(\theta )}{\mathrm{d}\theta }\ne 0$，为>0就说明 L(θ)为增函数。见2000年21.

---

例题1：2002年20.   离散型的参数估计

答案：

例题2：19年23(2)

分析：
求σ²的最大似然函数：
①求似然函数L(σ²)
②取对数，lnL(σ²)
③令$\frac{\mathrm{dlnL}({\sigma }^2)}{\mathrm{d}{\sigma }^2}=0$

答案：
σ²的最大似然估计值为 ${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$
σ²的最大似然估计量为 ${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$

例题3：18年23(2)

例题4：2000年21.

分析：$\frac{\mathrm{dlnL}(\theta )}{\mathrm{d}\theta }=2n>0$，∴lnL(θ)为关于θ的增函数
∴θ的最大似然估计值为$\hat{\theta }$=min_1≤i≤n{x_i}

例题5：09年23(2)

习题1：23李林四(三)16.

分析：

答案：$\bar{X}$

习题2：23李林四(二)16.

分析：∵|x|≤θ ∴θ的最大似然估计量为$\hat{\theta }$=max{|X₁|,|X₂|,…,|X_n|}

答案：max{|X₁|,|X₂|,…,|X_n|}

习题3：23李林六套卷(六)16.   二维随机变量求θ的最大似然估计

分析：

答案：$\frac{1}{2n}\sum _{i=1}^n(X_i+Y_i)$

习题4：22年22.   两个随机变量，求最大似然估计量

答案：

---

7.2 评价估计量优良性的标准

(1)无偏性 (无偏估计)

若参数θ的估计量 $\hat{\theta }=\hat{\theta }(X_1,X_2,...,X_n)$对一切n及θ∈I，有$E(\hat{\theta })=\theta$，则称 $\hat{\theta }$为$\theta$的无偏估计量

即若$\hat{\theta }$是θ的无偏估计量，则$E(\hat{\theta })=\theta$

$E(\bar{X})=\mu =E(X)，E(S^2)={\sigma }^2=D(X)$

(2)有效性

有效性(最小方差性)：都是无偏估计量的情况下，方差小的更有效

(3)一致性

一致性(相合性)：$\hat{\theta }\stackrel{P}{\to }\theta$，依概率收敛

---

例题1：14年14.

分析：

答案：$\frac{2}{5n}$

例题2：09年14. 无偏估计、二项分布的数字特征

分析：$\hat{\theta }$是θ的无偏估计量：$E(\hat{\theta })=\theta$。$E(\bar{X})=\mu =E(X)，E(S^2)={\sigma }^2=D(X)$
则$E(\bar{X}+k{S}^2)=n{p}^2$，即$E(\bar{X})+kE(S^2)=np+knp(1-p)=n{p}^2$，化简得 k=-1

答案：-1

例题3：16年23(2)

例题4：12年23(3)

---

7.3 区间估计

1.置信区间、置信度

P { θ 1 < θ < θ 2 } = 1 − α P\{θ_1<θ<θ_2\}=1-α P{θ1​<θ<θ2​}=1−α

$1-\alpha$称为置信度(置信水平)，$\alpha$称为显著性水平

区间$({\theta }_1,{\theta }_2)$称为参数θ的置信度为1-α的置信区间。${\theta }_1$和${\theta }_2$分别称为置信度为$1-\alpha$的置信区间的置信下限和置信上限；

2.求μ的置信区间

正态总体均值μ的置信区间(置信水平为1-α)

待估参数	其他参数	枢轴量的分布	置信区间
μ	σ²已知	$Z=\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$	$(\overline{X}-Z_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\overline{X}+Z_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$
μ	σ²未知	$t=\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$	$(\overline{X}-t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})$

---

例题1：16年14.   置信区间、置信上限

分析：置信区间是以$\bar{X}$为中心对称的
$\bar{X}=9.5$，$\bar{X}$到置信下限是1.3，则$\bar{X}$到置信上限也是1.3

答案：$(8.2，10.8)$

例题2：03年6.

分析：

答案：$(39.51，40.49)$

---

Ch8. 假设检验

1.拒绝域α、接受域1-α、H₀原假设、H₁备择假设

检验水平(显著性水平)α，即为拒绝域面积。α越小，接受域越大。

---

例题1：18年8.     假设检验

分析：α为拒绝域。若拒绝，说明落在α内。若接受，说明落在α外。

答案：D

---

2.双边检验、单边检验

①接受域看H₀，拒绝域看H₁
②易错点：求未知数时，要代入原假设H₀中μ的值${\mu }_0$

(1)双边检验：
①H₀：μ=μ₀，H₁：μ≠μ₀
②α/2

(2)单边检验：
①H₀：μ≥或≤μ₀，H₁：μ>或<μ₀
②α

---

例题1：

分析：

答案：求出拒绝域，得$\bar{x}=10$落入拒绝域，拒绝原假设H₀

---

3.第一类错误、第二类错误

1.犯第一类错误(弃真)：H₀为真的情况下，拒绝了H₀。
犯第一类错误的概率： α = P { 拒绝了 H 0 ∣ H 0 为真 } = P { 落在拒绝域 } α=P\{拒绝了H_0|H_0为真 \}=P\{落在拒绝域\} α=P{拒绝了H0​∣H0​为真}=P{落在拒绝域}

2.犯第二类错误(取伪)：H₀为假的情况下，接受了H₀。
犯第二类错误的概率： β = P { 接受了 H 0 ∣ H 0 为假 } = P { 落在接受域 } β=P\{接受了H_0|H_0为假\}=P\{落在接受域\} β=P{接受了H0​∣H0​为假}=P{落在接受域}

常用性质：
① P { x > a } = 1 − P { x ≤ a } P\{x>a\}=1-P\{x≤a\} P{x>a}=1−P{x≤a}

②$\Phi (-x)=1-\Phi (x)$

---

例题1：23李林六套卷(四)10.   犯第一类错误

分析：

答案：C

例题2：21年10.   犯第二类错误

分析：

答案：B

例题3：

分析：
犯第一类错误的概率α = P{H0为真，落在拒绝域}
犯第二类错误的概率β=P{H1为真，落在接受域}

答案：

---