进位制专题
目录
- MT2186 二进制？不同！
- MT2187 excel的烦恼
- MT2188 单条件和
- MT2189 三进制计算机1
- MT2190 三进制计算机2
MT2186 二进制？不同！
难度：黄金 时间限制：1秒 占用内存：128M
题目描述
小码哥是一个对数很敏感的人，即使给他很多个很像的数串，他都能找出没有出现过的数串。
或许是有些无聊，小码哥给你一个字符串数组 nums，里面包含 n n n 个二进制字符串（长度都为 n n n )，现请你找出不在数组中的二进制字符串。若有多解，返回对应十进制最小的一个。格式
输入格式：一行二进制字符串数组，字符串之间以空格分割；
输出格式：一个不在数组中的二进制字符串。样例 1
输入：01 10
输出：00
备注
其中： 1 ≤ n ≤ 16 1 \le n \le 16 1≤n≤16，nums中所有字符互不相同。
相关知识点：
进位制
题解
本题要求找出尚未在输入数据中出现的最小值（所有数据的最小取值为 0）。但是题目给出的数据为二进制字符串（合法的），因此为了找出最小未出现的数，我们需要先将所有输入的二进制字符串转换为十进制数，并将这些数存放进一个集合 nums 中。接下来，从 0 开始逐步向后枚举整数，一旦存在某个数不在集合 nums 中，就说明这个数是尚未在输入数据中出现的最小数。注意：我们还需对这个数进行格式转换！即将这个数由十进制再转换为二进制字符串（长度需要和输入数据的长度一致）。
下面直接给出求解此题的完整代码（已 AC）：
/*
MT2186 二进制？不同！
测试数据：001 100 000
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
set<int> nums;
// 该函数将（合法的）二进制数字串转换为十进制数字
int getDecFromBin(string str)
{
int sum = 0, base = 1;
for(int i=str.size()-1; i>=0; i--){
sum += base*(str[i]-'0');
base *= 2;
}
return sum;
}
// 将一个十进制数转换为指定长度的二进制字符串
string toBinary(int n, int len)
{
string str = "";
while(len--){
if(n&1) str = "1"+str;
else str = "0"+str;
n >>= 1;
}
return str;
}
int main( )
{
// 输入数据
string str;
while(cin>>str)
nums.insert(getDecFromBin(str));
// 记录当前输入二进制字符串的长度
int binStrlen = str.length();
// 寻找最小值，并在进行格式转换后输出
for(int i=0; ; i++){
// 找到一个尚未在集合中出现的最小数值
if(nums.find(i) == nums.end()){
cout<<toBinary(i, binStrlen)<<endl;
break;
}
}
return 0;
}
MT2187 excel的烦恼
难度：钻石 时间限制：2秒 占用内存：128M
题目描述
你用过 Excel 么?
在 excel 中，第一列被标为 A，第二列为 B，以此类推，第 26 列为 Z。接下来为由两个字母构成的列号：第 27 列为 AA，第 28 列为 AB……在标为 ZZ 的列之后则由三个字母构成列号，如此类推。
行号为从 1 开始的整数。
单元格的坐标由列号和行号连接而成。比如，BC23 表示位于第 55 列 23 行的单元格。
有时也会采用被称为 RXCY 的坐标系统，其中 X 与 Y 为整数，坐标 (X, Y) 直接描述了对应单元格的位置。比如，R23C55 即为前面所述的单元格。
小码哥请你编写一个程序，将所给的单元格坐标转换为另一种坐标系统下面的形式。格式
输入格式：第一行一个整数 T(1≤T≤10^5) 表示将有 T 次询问；
接下来 T 行，每行一个坐标。
输出格式：输出 T 行，每行一个被转换的坐标。样例 1
输入：3
R12C3
AE32
BB11输出：C12
R32C31
R11C54备注
每个坐标都是正确的。保证输入输出数据均在int范围内。输入输出数据字母部分均为大写。
相关知识点：
进位制
题解
这道题表面是在对两种坐标形式进行转换，但实际上也是在考察进制转换。例如，对于 excel 形式的坐标，其列号 BC 对应在十进制中为 55（ 2 × 2 6 1 + 3 × 2 6 0 = 55 2×26^1+3×26^0=55 2×261+3×260=55），所以题中将 BC23 解析为第 55 行第 23 列的单元格。因此，这里的进制转换问题实际上是十进制与以 A − Z A-Z A−Z 表达的二十六进制数之间的互相转换。
对于本题，由于输入数据并没有说明其具体是哪一种形式的坐标表达，因此我们需要做的第一件事是识别坐标格式。观察两种形式的坐标不难发现，excel 形式的坐标是 “字母+数字”，而 RXCY 形式的坐标是 “字母+数字+字母+数字”，这两种形式的本质区别在于：RXCY 的格式中，会在数字的后面出现字母；而 excel 形式下，数字后面不可能出现字母。因此可以根据这一本质区别进行格式识别，并在后续进行格式转换。
当完成了对输入坐标字符串的格式检测后，便能分别进行格式转换了。具体的转换过程并不难（详细细节可看这之后的例题：MT2189 三进制计算机1、MT2190 三进制计算机2），下面直接给出求解本题的完整代码（已 AC）：
/*
MT2187 excel的烦恼
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string str;
int T;
char apt[] = " ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ";
// 检测当前的坐标字符串属于那种格式：
// 0 EXCEL 格式
// 1 RXCY 格式
bool getFormat(string str)
{
bool flag = 0;
int strlen = str.length();
for(int i=0; i<strlen; i++) {
// 数字出现标记
if(isdigit(str[i]))
flag = true;
// 检测是否为 RXCY 模式
if(flag && str[i]=='C')
return true;
}
return false;
}
// 格式转换
void transform(string str)
{
// 格式识别
bool mode = getFormat(str);
// 格式转换
int row = 0, col = 0, len = str.length();
if(mode){ // mode 1：RXCY 转 ECXCEL 格式
// 定位 R 与 C 所在位置
int R = str.find("R"), C = str.find("C");
// 取出行号和列号
for(int i=R+1; i<C; i++)
row = row*10+str[i]-'0';
for(int i=C+1; i<len; i++)
col = col*10+str[i]-'0';
// 将十进制数转换为以 A-Z 表达的二十六进制数
int tmp;
string ans;
while(col > 0){
tmp = col%26;
if(tmp == 0){
tmp = 26;
col -= 26;
}
ans += apt[tmp];
col /= 26;
}
reverse(ans.begin(), ans.end());
// 格式化输出
cout<<ans<<row<<endl;
}else{ // mode 0：ECXCEL 转 RXCY 格式
// 将二十六进制数转换为十进制数
for(int i=0; i<len; i++)
if(!isdigit(str[i]))
col = col*26+str[i]-'A'+1;
else
row = row*10+str[i]-'0';
// 格式化输出
cout<<"R"<<row<<"C"<<col<<endl;
}
}
int main( )
{
// 输入数据
cin>>T;
for(int i=1; i<=T; i++){
cin>>str;
// 将当前的坐标表达式转换为另一种格式
transform(str);
}
return 0;
}
MT2188 单条件和
难度：黄金 时间限制：1秒 占用内存：128M
题目描述
“单条件” 是数理逻辑中的5种常用连接词之一，记作 “→”。它是二元运算。相当于 “如果…那么…. ”、“因为……所以……”、“只要…就.….” 等。也可称为 “蕴涵”。“p→q” 读作 “如果p，那么q”，其中 p 称为前件，q 称为后件。
其真值表如下：
如 “异或和” 为 a 1 ⨁ a 2 ⨁ … ⨁ a n a_1⨁a_2⨁…⨁a_n a1⨁a2⨁…⨁an ，我们现在要求 “单条件和”，即 a 1 → a 2 → ⋯ → a n a_1→a_2→⋯→a_n a1→a2→⋯→an，对 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,…,a_n a1,a2,…,an 做位意义上的单条件运算求和。
请按 unsigned int 类型进行运算。格式
输入格式：第一行一个整数 n n n，表示有 n n n 个需要求单条件和的整数；
第二行输入 n n n 个需要求单条件和的整数。
输出格式：输出一个 unsigned int 型的整数。样例 1
输入：10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10输出：4294967290
备注
对于100%的数据： 1 ≤ n ≤ 5 e 6 1≤n≤5e6 1≤n≤5e6。
相关知识点：
位运算
题解
观察题目给出的真值表不难发现：“p→q” 其实等价于执行位运算 “~p|q”（非 p 或 q）。在理解这一点后，我们便能直接写出以下代码：
/*
MT2188 单条件和
用 scanf 接受输入才能得满分
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main( )
{
// 输入数据
int n;
unsigned ans, tmp;
cin>>n>>ans;
// 执行运算
for(int i=1; i<n; i++) {
scanf("%u",&tmp);
ans = ~ans | tmp;
}
// 输出
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
MT2189 三进制计算机1
难度：黄金 时间限制：1秒 占用内存：128M
题目描述
三进制计算机，是以三进法数字系统为基础而发展的计算机。在光子计算机研究领域也有涉及。
三进制代码的一个特点是对称，即相反数的一致性，因此它和二进制代码不同，不存在无符号数的概念。这样，三进制计算机的架构也要简单、稳定、经济得多。其指令系统也更便于阅读，而且非常高效。
在一般情况下，命题不一定为真或假，还可能为未知。在三进制逻辑学中，符号 1 代表真；符号 -1 代表假；符号 0 代表未知。这种逻辑表达方式更符合计算机在人工智能方面的发展趋势，它为计算机的模糊运算和自主学习提供了可能。
在本题中，请你将输入的对称三进制数转换为对应的十进制数。对称三进制数不是用 0/1/2 表示，比较特殊，是用 1/0/-1 表示，故名对称。本题中 -1 用符号 - 表示，而 1 和 0 直接表示即可。格式
输入格式：第一输入一个整数 n n n ，表示数据组数；
接下来 n n n 行，每行输入一个对称三进制整数。
输出格式：对于第 2~n+1 行输入的每一个对称三进制整数，分别输出其十进制形式。样例 1
输入：8
-0
-1
-
0
1
1-
10
1–输出：-3
-2
-1
0
1
2
3
5备注
样例中 2 = 3 − 1 ， 3 = 3 + 0 × 1 ， 5 = 9 − 3 − 1 2=3-1，3=3+0 \times 1，5=9-3-1 2=3−1，3=3+0×1，5=9−3−1。
对于100%的数据： 1 ≤ n ≤ 1 e 6 1≤n≤1e6 1≤n≤1e6，输入的对称三进制数对应的整数在 int 类型范围内
。
相关知识点：
平衡三进制
题解
这道题实际上考察的是进制转换，即平衡三进制转换为十进制数。
首先我们要知道，任意 k k k 进制数（设为 A k = a 1 a 2 ⋯ a n A_k=a_1 a_2⋯a_n Ak=a1a2⋯an）转换为十进制都遵循下式：
n = ∑ i = 1 n a i k n − i n=\sum_{i=1}^na_i k^{n-i} n=i=1∑naikn−i
其中， a i a_i ai 表示该 k k k 进制数在第 i i i 位上的取数， n n n 表示其长度。
例如，二进制数 1010 转换为十进制数为：
n = a 1 k 4 − 1 + a 2 k 4 − 2 + a 3 k 4 − 3 + a 4 k 4 − 4 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 10 n=a_1 k^{4-1}+a_2 k^{4-2}+a_3 k^{4-3}+a_4 k^{4-4}=1×2^3+0×2^2+1×2^1+0×2^0=10 n=a1k4−1+a2k4−2+a3k4−3+a4k4−4=1×23+0×22+1×21+0×20=10
十六进制数 AE86 转换为十进制数为：
n = a 1 k 4 − 1 + a 2 k 4 − 2 + a 3 k 4 − 3 + a 4 k 4 − 4 = 10 × 1 6 3 + 14 × 1 6 2 + 8 × 1 6 1 + 6 × 1 6 0 = 44678 n=a_1 k^{4-1}+a_2 k^{4-2}+a_3 k^{4-3}+a_4 k^{4-4}=10×16^3+14×16^2+8×16^1+6×16^0=44678 n=a1k4−1+a2k4−2+a3k4−3+a4k4−4=10×163+14×162+8×161+6×160=44678
同样地，三进制数也满足该式。但是本题比较特殊，因为平衡三进制数中的 2 会用 -1 来表示，但这并不影响通式给出的计算方法。例如，对于题目给出的平衡三进制数：1--，其转换过程如下：
n = a 1 k 3 − 1 + a 2 k 3 − 2 + a 3 k 3 − 3 = 1 × 3 2 + ( − 1 ) × 3 1 + ( − 1 ) × 3 0 = 9 − 3 − 1 = 5 n=a_1 k^{3-1}+a_2 k^{3-2}+a_3 k^{3-3}=1×3^2+(-1)×3^1+(-1)×3^0=9-3-1=5 n=a1k3−1+a2k3−2+a3k3−3=1×32+(−1)×31+(−1)×30=9−3−1=5
根据这样的思路，可写出求解本题的完整代码：
下面给出基于以上思路写出的完整代码（已 AC）：
/*
MT2189 三进制计算机1
输出转换结果时不能用 endl ，否则会超时
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105;
int w[N], n, ans, len;
char s[N];
int main( )
{
// 取消cin与stdin的同步（加速文件读取速度）
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
// 输入数据
cin>>n;
// 构建乘位
w[0] = 1;
for(int i=1; i<=100; i++)
w[i] = w[i-1]*3;
// 进制转换与输出
while(n--){
cin>>s;
ans = 0;
len = strlen(s);
// 进制转换
for(int i=len-1; i>=0; i--){
if(s[i] == '1') ans += w[len-1-i];
if(s[i] == '-') ans -= w[len-1-i];
}
// 输出转换结果
cout<<ans<<"\n";
}
return 0;
}
此外，对本题而言还需要特别注意两点：
- 必须取消 cin 与 stdin 的同步以加速文件读取速度，否则会超时（原理请见：C++中输入和输出的一些问题）；
- 输出换行时必须用 “\n” 替代 “endl”，否则会超时。
当然，你也可以用 C 的方式进行数据输入输出（即用scanf和printf替代cin和cout），这样就不必担心上面的这些问题。
MT2190 三进制计算机2
难度：钻石 时间限制：1秒 占用内存：128M
题目描述
三进制计算机，是以三进法数字系统为基础而发展的计算机。在光子计算机研究领域也有涉及。
三进制代码的一个特点是对称，即相反数的一致性，因此它和二进制代码不同，不存在无符号数的概念。这样，三进制计算机的架构也要简单、稳定、经济得多。其指令系统也更便于阅读，而且非常高效。
在一般情况下，命题不一定为真或假，还可能为未知。在三进制逻辑学中，符号 1 代表真；符号 -1 代表假；符号 0 代表未知。这种逻辑表达方式更符合计算机在人工智能方面的发展趋势，它为计算机的模糊运算和自主学习提供了可能。
在本题中，请你将输入的对称三进制数转换为对应的十进制数。对称三进制数不是用 0/1/2 表示，比较特殊，是用 1/0/-1 表示，故名对称。本题中 -1 用符号 - 表示，而 1 和 0 直接表示即可。格式
输入格式：第一输入一个整数 n n n ，表示数据组数；
接下来 n n n 行，每行输入一个十进制整数。
输出格式：对于第 2~n+1 行输入的每一个十进制整数，分别输出其对称三进制形式。样例 1
输入：8
-3
-2
-1
0
1
2
3
5输出：-3
-0
-1
-
0
1
1-
10
1–备注
样例中 2 = 3 − 1 ， 3 = 3 + 0 × 1 ， 5 = 9 − 3 − 1 2=3-1，3=3+0 \times 1，5=9-3-1 2=3−1，3=3+0×1，5=9−3−1。
对于100%的数据： 1 ≤ n ≤ 1 e 6 1≤n≤1e6 1≤n≤1e6，输入的对称三进制数对应的整数在 int 类型范围内
。
相关知识点：
平衡三进制
题解
这道题与前一题的要求刚好相反，即要求将输入的每个十进制数转换为对称三进制数并输出。
首先我们要知道，任意十进制数
n
n
n 转换为
k
k
k 进制都遵循一个过程：
- 当前位取数为：n%k；
- 为继续向后取数（即得到更高位的数），更新数 n = n k n=\frac{n}{k} n=kn。
- 若 n = 0 ，则转换结束。
例如，将十进制数 10 转换为二进制数的过程如下：
- 第1位： n % 2 = 10 % 2 = 0 n\%2 = 10\%2 = 0 n%2=10%2=0，更新 n = n 2 = 10 2 = 5 n=\frac{n}{2}=\frac{10}{2}=5 n=2n=210=5；
- 第2位： n % 2 = 5 % 2 = 1 n\%2 = 5\%2 = 1 n%2=5%2=1，更新 n = n 2 = 5 2 = 2 n=\frac{n}{2}=\frac{5}{2}=2 n=2n=25=2；
- 第3位： n % 2 = 2 % 2 = 0 n\%2 = 2\%2 = 0 n%2=2%2=0，更新 n = n 2 = 2 2 = 1 n=\frac{n}{2}=\frac{2}{2}=1 n=2n=22=1；
- 第4位： n % 2 = 1 % 2 = 1 n\%2 = 1\%2 = 1 n%2=1%2=1，更新 n = n 2 = 1 2 = 0 n=\frac{n}{2}=\frac{1}{2}=0 n=2n=21=0，转换结束。
于是得到十进制数 10 对应的二进制数为 1010。
同样地，将十进制数转换为三进制数也遵循该算法，例如，将十进制数 11 转换为三进制数的过程如下：
- 第1位： n % 3 = 11 % 3 = 2 n\%3 = 11\%3 = 2 n%3=11%3=2，更新 n = n 3 = 11 3 = 3 n=\frac{n}{3}=\frac{11}{3}=3 n=3n=311=3；
- 第2位： n % 3 = 3 % 3 = 0 n\%3 = 3\%3 = 0 n%3=3%3=0，更新 n = n 3 = 3 3 = 1 n=\frac{n}{3}=\frac{3}{3}=1 n=3n=33=1；
- 第3位： n % 3 = 1 % 3 = 1 n\%3 = 1\%3 = 1 n%3=1%3=1，更新 n = n 3 = 1 3 = 0 n=\frac{n}{3}=\frac{1}{3}=0 n=3n=31=0，转换结束。
于是得到十进制数 11 对应的三进制数为 102。
而本题要求转换的 “平衡三进制” 中，所有的 “2” 都要求用 “-1” 来替代。这一替换实际上相当于将指定位上的值减少了 1（从这个数的整体来看，实际上减少了
1
×
k
p
1×k^p
1×kp），为了保证这个数在整体上的值不变，就必须向前一位借位，即将这个位前的那个值加 1。例如，由十进制数 11 得到的三进制数为 102，我们从该数的低位向高位扫描：首先，末尾存在一个 “2”，于是将这个数替换为 “-”，并将较高位的 “0” 替换为 “1”（即得到 11-）；接继续向后扫描，发现整个序列中的数均合法，于是得到由十进制数 11 转换的平衡三进制数为 11-。我们可以进行验证：
n = a 1 k 3 − 1 + a 2 k 3 − 2 + a 3 k 3 − 3 = 1 × 3 2 + 1 × 3 1 + ( − 1 ) × 3 0 = 9 + 3 − 1 = 11 n=a_1 k^{3-1}+a_2 k^{3-2}+a_3 k^{3-3}=1×3^2+1×3^1+(-1)×3^0=9+3-1=11 n=a1k3−1+a2k3−2+a3k3−3=1×32+1×31+(−1)×30=9+3−1=11
考虑一种情况，三进制数 122。当将末位的 “2” 借位后，中间位的 “2” 将变成数字 “3”，即此时为 13-；对中间位而言，“3” 已经达到了这个进制下的最大值，因此要进位，于是此时该数将变为 20-；继续向高位扫描，发现最高位为 “2”，因此需要将其转换为 “-”，并向较高位借位，故最终得到 1-0-。我们可以进行验算：
122
：
n
=
1
×
3
2
+
2
×
3
1
+
2
×
3
0
=
9
+
6
+
2
=
17
122：n=1×3^2+2×3^1+2×3^0=9+6+2=17
122：n=1×32+2×31+2×30=9+6+2=17
1
−
0
−
：
n
=
1
×
3
3
+
(
−
1
)
×
3
2
+
0
×
3
1
+
(
−
1
)
×
3
0
=
17
1-0-：n=1×3^3+(-1)×3^2+0×3^1+(-1)×3^0=17
1−0−：n=1×33+(−1)×32+0×31+(−1)×30=17
可以看出，他们最终转换为十进制均为 17。
最后还需要注意一点：平衡三进制的负数与正数之间的转换关系。实际上，题目也给出了他们之间关系的一些提示：“三进制代码的一个特点是对称，即相反数的一致性”。对于平衡三进制的数而言，它的相反数与其本身的关系如下：所有非 0 数据互相相反。例如，平衡三进制数 1-01，它对应的负数则为 -10-：
1
−
01
：
n
=
1
×
3
3
+
(
−
1
)
×
3
2
+
0
×
3
1
+
1
×
3
0
=
27
−
9
+
0
+
1
=
19
1-01：n=1×3^3+(-1)×3^2+0×3^1+1×3^0=27-9+0+1=19
1−01：n=1×33+(−1)×32+0×31+1×30=27−9+0+1=19
−
10
−
：
n
=
(
−
1
)
×
3
3
+
1
×
3
2
+
0
×
3
1
+
(
−
1
)
×
3
0
=
−
27
+
9
+
0
−
1
=
−
19
-10-：n=(-1)×3^3+1×3^2+0×3^1+(-1)×3^0=-27+9+0-1=-19
−10−：n=(−1)×33+1×32+0×31+(−1)×30=−27+9+0−1=−19
根据上面的分析，可以将求解本题的思路整理如下：
- 将输入的十进制数转换为对应的三进制数（为便于处理，这一阶段将统一使用该数的正数）；
- 将三进制数转换为平衡三进制数，转换规则如下（假设当前的三进制数字符串为num）：
- 若 num[i] = 2，则令 num[i] = -, num[i+1]++（数字串的索引大小与数的低位到高位对应）；
- 若 num[i] = 3，则令 num[i] = 0, num[i+1]++。
- 根据输入十进制数的正负性，对得到的平衡三进制数进行相应处理。
下面给出基于以上思路得到的完整代码（已 AC）：
/*
MT2190 三进制计算机2
思路：先将数从十进制转换至正常的三进制，然后再转换为平衡三进制
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55;
int num[N], n, x, flag, cnt;
int main( )
{
// 取消cin与stdin的同步（加速文件读取速度）
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
// 输入数据
cin>>n;
while(n--){
cin>>x;
memset(num, 0, sizeof(num));
flag = 1, cnt = 0;
// 程序将统一处理正数，因此定义标记来记录原始输入数据的正负性
if(x<0){
flag = -1;
x = -x;
}
if(x == 0){
cout<<x<<"\n";
continue;
}
// 将十进制数转换为三进制数
while(x){
num[cnt++] = x%3;
x /= 3;
}
// 将三进制数转换为平衡三进制数
for(int i=0; i<cnt; i++){
if(num[i] == 2){
// 借位
num[i] = -1;
num[i+1]++;
}else if(num[i] == 3){
// 进位
num[i] = 0;
num[i+1]++;
}
}
// 判断原始三进制数转换为平衡三进制数后是否出现了位增情况
if(num[cnt]) cnt++;
// 如果原始输入的十进制数为负数，则需要对已经算出的平衡三进制数进行反号
if(flag == -1)
for(int i=cnt-1; i>=0; i--)
num[i] = -num[i];
// 输出转换后的平衡三进制数，需要进行格式控制：所有的-1都输出-
for(int i=cnt-1; i>=0; i--)
if(num[i] == -1) cout<<"-";
else cout<<num[i];
cout<<"\n";
}
return 0;
}
