动手学深度学习6.3 填充和步幅-笔记练习（PyTorch）

以下内容为结合李沐老师的课程和教材补充的学习笔记，以及对课后练习的一些思考，自留回顾，也供同学之人交流参考。

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本节教材地址：6.3. 填充和步幅 — 动手学深度学习 2.0.0 documentation (d2l.ai)

本节开源代码：...>d2l-zh>pytorch>chapter_multilayer-perceptrons>padding-and-strides.ipynb

填充和步幅

在前面的例子图6.2.1 中，输入的高度和宽度都为3，卷积核的高度和宽度都为2，生成的输出表征的维数为2×2。正如我们在 6.2节中所概括的那样，假设输入形状为 $n_h\times n_w$ ，卷积核形状为 $k_h\times k_w$ ，那么输出形状将是 $(n_h-k_h+1) \times (n_w-k_w+1)$ 。因此，卷积的输出形状取决于输入形状和卷积核的形状。

还有什么因素会影响输出的大小呢？本节我们将介绍填充（padding）和步幅（stride）。假设以下情景：有时，在应用了连续的卷积之后，我们最终得到的输出远小于输入大小。这是由于卷积核的宽度和高度通常大于1所导致的。比如，一个240 × 240像素的图像，经过10层5 × 5的卷积后，将减少到200 × 200像素。如此一来，原始图像的边界丢失了许多有用信息。而填充是解决此问题最有效的方法；有时，我们可能希望大幅降低图像的宽度和高度。例如，如果我们发现原始的输入分辨率十分冗余。步幅则可以在这类情况下提供帮助。

填充

如上所述，在应用多层卷积时，我们常常丢失边缘像素。由于我们通常使用小卷积核，因此对于任何单个卷积，我们可能只会丢失几个像素。但随着我们应用许多连续卷积层，累积丢失的像素数就多了。解决这个问题的简单方法即为填充（padding）：在输入图像的边界填充元素（通常填充元素是0）。例如，在图6.3.1 中，我们将3 × 3输入填充到5 × 5，那么它的输出就增加为4 × 4。阴影部分是第一个输出元素以及用于输出计算的输入和核张量元素： $0\times0+0\times1+0\times2+0\times3=0$ 。

通常，如果我们添加 $p_h$ 行填充（大约一半在顶部，一半在底部）和 $p_w$ 列填充（左侧大约一半，右侧一半），则输出形状将为

$(n_h-k_h+p_h+1)\times(n_w-k_w+p_w+1).$

这意味着输出的高度和宽度将分别增加 $p_h$ 和 $p_w$ 。

在许多情况下，我们需要设置 $p_h=k_h-1$ 和 $p_w=k_w-1$ ，使输入和输出具有相同的高度和宽度。这样可以在构建网络时更容易地预测每个图层的输出形状。假设 $k_h$ 是奇数，我们将在高度的两侧填充 $p_h/2$ 行。如果 $k_h$ 是偶数，则一种可能性是在输入顶部填充 $\lceil p_h/2\rceil$ 行（向上取整），在底部填充 $\lfloor p_h/2\rfloor$ 行（向下取整）。同理，我们填充宽度的两侧。

卷积神经网络中卷积核的高度和宽度通常为奇数，例如1、3、5或7。选择奇数的好处是，保持空间维度的同时，我们可以在顶部和底部填充相同数量的行，在左侧和右侧填充相同数量的列。

此外，使用奇数的核大小和填充大小也提供了书写上的便利。对于任何二维张量X，当满足： 1. 卷积核的大小是奇数； 2. 所有边的填充行数和列数相同； 3. 输出与输入具有相同高度和宽度则可以得出：输出Y[i, j]是通过以输入X[i, j]为中心，与卷积核进行互相关计算得到的。

比如，在下面的例子中，我们创建一个高度和宽度为3的二维卷积层，并(在所有侧边填充1个像素)。给定高度和宽度为8的输入，则输出的高度和宽度也是8。

import torch
from torch import nn

# 为了方便起见，我们定义了一个计算卷积层的函数。
# 此函数初始化卷积层权重，并对输入和输出提高和缩减相应的维数
def comp_conv2d(conv2d, X):
    # 这里的（1，1）表示批量大小和通道数都是1
    X = X.reshape((1, 1) + X.shape)
    Y = conv2d(X)
    # 省略前两个维度：批量大小和通道
    return Y.reshape(Y.shape[2:])

# 请注意，这里每边都填充了1行或1列，因此总共添加了2行或2列
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1)
X = torch.rand(size=(8, 8))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

输出结果：
torch.Size([8, 8])

当卷积核的高度和宽度不同时，我们可以[填充不同的高度和宽度]，使输出和输入具有相同的高度和宽度。在如下示例中，我们使用高度为5，宽度为3的卷积核，高度和宽度两边的填充分别为2和1。

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(5, 3), padding=(2, 1))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

输出结果：
torch.Size([8, 8])

步幅

在计算互相关时，卷积窗口从输入张量的左上角开始，向下、向右滑动。在前面的例子中，我们默认每次滑动一个元素。但是，有时候为了高效计算或是缩减采样次数，卷积窗口可以跳过中间位置，每次滑动多个元素。

我们将每次滑动元素的数量称为步幅（stride）。到目前为止，我们只使用过高度或宽度为1的步幅，那么如何使用较大的步幅呢？图6.3.2 是垂直步幅为3，水平步幅为2的二维互相关运算。着色部分是输出元素以及用于输出计算的输入和内核张量元素：

$0\times0+0\times1+1\times2+2\times3=8$ 、

$0\times0+6\times1+0\times2+0\times3=6$ 。

可以看到，为了计算输出中第一列的第二个元素和第一行的第二个元素，卷积窗口分别向下滑动三行和向右滑动两列。但是，当卷积窗口继续向右滑动两列时，没有输出，因为输入元素无法填充窗口（除非我们添加另一列填充）。

通常，当垂直步幅为 $s_h$ 、水平步幅为 $s_w$ 时，输出形状为

$\lfloor(n_h-k_h+p_h+s_h)/s_h\rfloor \times \lfloor(n_w-k_w+p_w+s_w)/s_w\rfloor.$

如果我们设置了 $p_h=k_h-1$ 和 $p_w=k_w-1$ ，则输出形状将简化为 $\lfloor(n_h+s_h-1)/s_h\rfloor \times \lfloor(n_w+s_w-1)/s_w\rfloor$ 。更进一步，如果输入的高度和宽度可以被垂直和水平步幅整除，则输出形状将为 $(n_h/s_h) \times (n_w/s_w)$ （通常步幅取2）。

下面，我们[将高度和宽度的步幅设置为2]，从而将输入的高度和宽度减半。

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1, stride=2)
comp_conv2d(conv2d, X).shape

输出结果：
torch.Size([4, 4])

接下来，看(一个稍微复杂的例子)。

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(3, 5), padding=(0, 1), stride=(3, 4))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

输出结果：
torch.Size([2, 2])

为了简洁起见，当输入高度和宽度两侧的填充数量分别为 $p_h$ 和 $p_w$ 时，我们称之为填充 $(p_h, p_w)$ 。当 $(p_h, p_w)$ 时，填充是 $p$ 。同理，当高度和宽度上的步幅分别为 $s_h$ 和 $s_w$ 时，我们称之为步幅 $(s_h, s_w)$ 。特别地，当 $s_h = s_w = s$ 时，我们称步幅为 $s$ 。默认情况下，填充为0，步幅为1。在实践中，我们很少使用不一致的步幅或填充，也就是说，我们通常 $p_h = p_w$ 和 $s_h = s_w$ 。

小结

填充可以增加输出的高度和宽度。这常用来使输出与输入具有相同的高和宽。
步幅可以减小输出的高和宽，例如输出的高和宽仅为输入的高和宽的1/n（n是一个大于1的整数）。
填充和步幅可用于有效地调整数据的维度，均为卷积层的超参数。

练习

1. 对于本节中的最后一个示例，计算其输出形状，以查看它是否与实验结果一致。
解：
根据 $\lfloor(n_h-k_h+p_h+s_h)/s_h\rfloor \times \lfloor(n_w-k_w+p_w+s_w)/s_w\rfloor,$

可计算得出输出形状为： $\lfloor(8-3+0+3)/3\rfloor \times \lfloor(8-5+2+4)/4\rfloor$ ，

取整为 2×2 ，与实验结果一致。

2. 在本节中的实验中，试一试其他填充和步幅组合。
解：
比如，设置卷积核尺寸为3×5，高度两侧填充为2，宽度两侧填充为1，高度步幅为4，宽度步幅为1；当输入尺寸为8×8时，输出尺寸应为3×6。
代码如下：

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(3, 5), padding=(2, 1), stride=(4, 1))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

输出结果：
torch.Size([3, 6])

3. 对于音频信号，步幅2说明什么？
解：
说明在时间轴上每隔一个样本进行一次卷积，这么做可以提高计算效率和频率分辨率，但可能会牺牲一些时间分辨率和信号细节。

4. 步幅大于1的计算优势是什么？
解：
当步幅>1时，可以在卷积核尺寸较小的情况下，以更少的计算量和层数，实现输入到输出尺寸的快速降维，这种做法可以显著降低模型复杂度、减少内存使用。