第一题：
原题链接：1049. 最后一块石头的重量 II - 力扣（LeetCode）
思路：
首先确认这是一道01背包问题的题目，如何转换：剩下尽可能小的重量，如何剩下呢？跟分割等和子集很像，就是将数组分为两个子集，这两个子集的元素之和相等则说明剩余重量最小，那么就是将数组的元素相加再除2，得到一个数值target，因为 / 是向下取整的，因此这个数值是较小的一个，所以所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。
1.确认dp数组的含义：
dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。
可以回忆一下01背包中，dp[j]的含义，容量为j的背包，最多可以装的价值为 dp[j]。
相对于 01背包，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] ，可以 “最多可以装的价值为 dp[j]” == “最多可以背的重量为dp[j]”
2.确认递推公式：
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
3.如何初始化
既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和。
因为提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 1000，所以最大重量就是30 * 1000。
而我们要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到15000大小就可以了。
当然也可以把石头遍历一遍，计算出石头总重量 然后除2，得到dp数组的大小。
我这里就直接用15000了。
接下来就是如何初始化dp[j]呢，因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。
4.确认遍历顺序
如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
代码如下：
class Solution {
public:
int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
vector<int> dp(15001);
int sum = 0;
for(int i = 0; i < stones.size(); i++){
sum += stones[i];
}
int target = sum / 2;
for(int i = 0; i < stones.size(); i++){
for(int j = target; j >= stones[i]; j--){
dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
}
}
//f(dp[target] == target) return 0;
return sum - dp[target] - dp[target];
}
};第二题：
原题链接：494. 目标和 - 力扣（LeetCode）
思路：
如何转化为01背包问题呢。
假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。
所以我们要求的是 x - (sum - x) = target
x = (target + sum) / 2
此时问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法。
这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量。(target + sum) / 2 如果不能整除的话就是无解的，例如sum 是5，S是2的话其实就是无解的，同时如果 S的绝对值已经大于sum，那么也是没有方案的。
再回归到01背包问题，为什么是01背包呢？因为每个物品（题目中的1）只用一次！本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。
1.确认dp数组的含义：
dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法。
2.确认递推公式：
只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。
例如：dp[j]，j 为5，
- 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
- 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
- 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]种方法 凑成 容量为5的背包。
- 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]种方法 凑成 容量为5的背包。
- 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]种方法 凑成 容量为5的背包。
那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。
3.如何初始化
从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。
4.遍历顺序
对于01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。
举例说明一下：
输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4
代码如下：
class Solution {
public:
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案
if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
int bagSize = (S + sum) / 2;
vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[bagSize];
}
};
第三题：
原题链接：474. 一和零 - 力扣（LeetCode）
思路：
1.确认dp数组的含义：dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。
2.确认递推公式：
dp[i][j]可以由前一个strs里的字符串推导出来。strs里的当前字符串里有zeroNum个0，oneNum个1。dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。
然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。
所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
3.如何初始化
01背包的dp数组初始化为0就可以。
因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。
4.确定遍历顺序
外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！
代码如下：
class Solution {
public:
int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0
for (string str : strs) { // 遍历物品
int oneNum = 0, zeroNum = 0;
for (char c : str) {
if (c == '0') zeroNum++;
else oneNum++;
}
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
};
