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量化投资基础系列，不断更新中

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1. 投资组合收益率与风险

假设市场有 $N$ 个资产，其随机收益率分别为 $R_1,R_2,\dots ,R_N$ ，对应的投资比例分别为 $w_1,w_2,\dots ,w_N$，且 $w_1+w_2+\cdots +w_N=1$。

• 投资组合的收益率
  $$R_p={\omega }_1{R}_1+{\omega }_2{R}_2+\cdots +{\omega }_N{R}_N$$
• 投资组合收益率的期望（期望收益率）
  $$\mathbb{E}(R_p)={\omega }_1\mathbb{E}(R_1)+{\omega }_2\mathbb{E}(R_2)+\cdots +{\omega }_N\mathbb{E}(R_N)$$
• 投资组合收益率的方差
  $$\begin{array}{rl}{\sigma }^2\left(R_p\right)& ={\sigma }^2\left(\sum _{i=1}^N{\omega }_i{R}_i\right)\\ & =\sum _{i=1}^N{\omega }_i^2{\sigma }^2\left(R_i\right)+\sum _{i\ne j}{\omega }_i{\omega }_j\sigma \left(R_i,R_j\right)\end{array}$$

2. Black-Litterman模型

均值–方差模型中资产配置的前提是对未来形成预期（即已知未来各资产 $R_1,R_2,\dots ,R_n$ 的概率分布），然后利用Markowitz模型求得最优资产配比。Markowitz模型的输入参数包括历史数据法（均值、方差、协方差矩阵）和情景分析法（主观因素，随意性强）两种。

MV模型的不足之处：

（1）基于历史数据法的基础是相信未来资产收益率分布与过去相同，但现实中，历史并不一定完全重演。


（2）历史数据法对样本区间非常敏感。

1992年，Fisher Black 和 Robert Litterman 对全球债券投资组合研究发现，当对债券预期报酬率做0.1%微调后，资产组合的投资比例由原来的10.0%提高到55.0%，这充分说明 Markowitz 模型的最优资产配比对输入参数十分敏感。

1992年，Fisher Black 和 Robert Litterman 提出了改进的模型——Black-Litterman模型（简称BL模型），其核心思想是将投资者对大类资产的观点（主观观点）与市场均衡收益（先验预期收益）相结合，从而形成新的预期收益率（后验预期收益率）。该模型自提出以来，逐渐被华尔街主流所接受，现成为高盛公司资产管理部门在资产配置上的一个主要工具。

2.1 BL模型的步骤

（1）使用历史数据估计预期收益率的协方差矩阵，根据 $N$ 种资产过去 $T$ 期的收益率资料, 则协方差矩阵为:

$$\hat{\Sigma }=\left[\begin{array}{cccc}{\hat{\sigma }}_{11}& {\hat{\sigma }}_{12}& \cdots & {\hat{\sigma }}_{1N}\\ {\hat{\sigma }}_{21}& {\hat{\sigma }}_{22}& \cdots & {\hat{\sigma }}_{2N}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\hat{\sigma }}_{N1}& {\hat{\sigma }}_{N2}& \cdots & {\hat{\sigma }}_{NN}\end{array}\right]$$

式中 ${\hat{\sigma }}_{ij}$ 是根据样本数据估计出来的资产 $i$ 与 j$ $ 的协方差, 表达式为 ${\hat{\sigma }}_{ij}=\mathbb{E}[(R_{i,t}-{\hat{\mu }}_i)\left(R_{j,t}-{\hat{\mu }}_j\right)]$ , 其中 ${\hat{\mu }}_i$ 为资产 $i$ 的历史平均收益率, ${\hat{\mu }}_i=\frac{{\sum }_{t=1}^T{R}_{i,t}}{T}$ 。

（2）确定市场预期之收益率向量（$ N \times 1$ 列向量) ，也就是先验预期收益之期望值。

• 可以用历史收益率均值作为先验预期收益之期望值, 即
  $$\pi =\hat{\mu }$$
• 也可以根据市场现有的价格、市场组合构成反推出市场隐含的均衡收益率（Implied Equilibrium Return）来作为先验预期收益之期望，即
  $$\pi =\lambda \hat{\Sigma }{\omega }^m$$
  其中 $\lambda =\frac{\mathbb{E}\left[R_m\right]-R_f}{{\sigma }_m^2}$ 为市场组合单位风险的超额收益, 反应了市场对风险趋避的程度， $R_m$ 为市场组合之收益率, $R_f$ 为无风险收益, ${\sigma }_m^2$ 为市场组合收益率之方差), ${\omega }^m$ 为市场组合各资产的投资比例, $\hat{\Sigma }$ 为估计出来的协方差矩阵。

• 还可以根据 CAPM 模型中的 Alpha（历史超额收益率）来估计 $\pi $ 。

（3）融合投资人的个人观点, 即确定 $P、Q、\Omega$。

比如，现在市场有五种资产 $A、B、C、D、E$，投资人基于自己的经验及分析，形成以下判断:

• 资产 $A$ 的收益率为 $15\%$；
• 资产 $B$ 比资产 $D$ 的收益率高 $5\%$；
• 资产 $B$ 和 $C$ 比资产 $A$ 的收益率低 $6\%$ 。

据此, 可以写出反应投资人主观观点的矩阵:
$$P=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& -1& 0\\ -1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0& 0\end{array}\right]$$

看法向量:
$$q=[15\%,5\%,6\%{]}^T$$

看法向量误差项的协方差矩阵：
$$\begin{array}{c}{\omega }_{ij}=\{\begin{array}{ll}p(\tau \Sigma )p^T& \forall i=j\\ 0& \forall i\ne j\end{array}\\ \text{或}\\ \Omega =\mathrm{diag}\left(P(\tau \Sigma )P^T\right)\end{array}$$

（4）修正后验收益。

• $\text{后验预期收益率的期望值：}\mathbb{E}\left({R|}_{q;\Omega }\right)={\mu }_{BL}$
• $\text{后验预期收益率的方差：}{\Sigma }_{BL}=\Sigma +{\Sigma }_{BL}^{\mu }$

• ${\mu }_{BL}={\left[(\tau \Sigma {)}^{-1}+P^T{\Omega }^{-1}P\right]}^{-1}\left[(\tau \Sigma {)}^{-1}\pi +P^T{\Omega }^{-1}q\right]$
• ${\Sigma }_{BL}^{\mu }={\left[(\tau \Sigma {)}^{-1}+P^T{\Omega }^{-1}P\right]}^{-1}$

（5）投资组合优化：通过Black-Litterman模型，可以获得后验收益的期望值与协方差矩阵。

• 根据这些信息，可以进行资产配置，比如利用 Makowitz模型进行资产配置。

• 定义均值方差模型函数（详见代码）：blminVar()

2.2 BL模型的设定

（1）计算出历史收益率之均值 $\hat{\mu }$ 及协方差矩阵 $\hat{\Sigma }$。

（2）用历史收益率均值作为先验预期收益之期望值，即 $\pi =\hat{\mu }$。

（3）结合投资者个人的观点（由 $P、Q、\Omega$ 代表，其中 $P、Q$ 为已知的输入变量，$\Omega$ 要自己计算）。

（4）根据 公式 计算出后验分布之期望值、协方差。

3. Black-Litterman模型之Python实现

数据集：“stock_data.txt”

# 导入包
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['simhei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

读取数据集

# 读取数据
stock = pd.read_csv('datas\stock_data.txt',sep='\t',index_col='Trddt')
# 转换时间格式
stock.index = pd.to_datetime(stock.index)       
stock.head()      

###################################################### 提取部分数据##############################################################
## 福建高速（600033）
fjgs = stock.loc[stock.Stkcd==600033,'Dretwd'] 
fjgs.name = 'fjgs'

## 浙能电力（600023）
zndl = stock.loc[stock.Stkcd==600023,'Dretwd']
zndl.name='zndl'

## 生益科技（600183）
sykj = stock.loc[stock.Stkcd==600183,'Dretwd']
sykj.name='sykj'

## 华夏银行（600015）
hxyh = stock.loc[stock.Stkcd==600015,'Dretwd']
hxyh.name = 'hxyh'

## 白云机场（600004）
byjc = stock.loc[stock.Stkcd==600004,'Dretwd']
byjc.name = 'byjc'

# 合并数据集（DataFrame）
sh_return = pd.concat([byjc,fjgs,hxyh,sykj,zndl],axis=1)          
sh_return.head()                                               

数据处理

# 删除缺失数据（NaN）
sh_return = sh_return.dropna()                  
sh_return.head()

# 累积求和（cumsum），求积（cumprod）：默认参数0表示列求和、积，参数1表示行求和、积
cumreturn = (1 + sh_return).cumprod()            
cumreturn.head()

数据可视化分析

# 绘制收益率时序图
sh_return.plot(figsize=(8,6))

plt.title('5只股票的日收益率时序图(2014-2015)')
plt.xlabel('date')
plt.ylabel('return')
# plt.legend(loc='lower center',bbox_to_anchor=(0.5,-0.3),ncol=5, fancybox=True, shadow=True)
plt.legend()

plt.show()

# 绘制累积收益率时序图
cumreturn.plot(figsize=(8,6))

plt.title('5只股票的累计日收益率时序图(2014-2015)')
plt.xlabel('date')
plt.ylabel('cumreturn')

plt.show()

BL模型的回测

代码及上述文档资源详见资源包（含数据）！

通过上图发现：通过与MV模型对比，BL模型得到的最优投资组合累计收益率在初期比MV模型有着明显提高，虽然在期末时期略低于MV模型，但是，整个期间改进的BL模型投资策略还是不错的。

4. 小结

• 本案例主要对均值-方差模型进行了改进，引入投资者对资产的主观观点到模型中，进而形成新的预期收益率，即Black-Litterman模型，实证分析结果显示该模型策略还是不错的！

5. 参考资料

• 蔡立耑. 量化投资以Python为工具[M]. 北京：电子工业出版社，2017.
• PyQuant. 量化投资基础[M]. 北京：科学出版社，2024.

6. 资源包下载

• 链接：https://pan.baidu.com/s/1Q_jCCcln1ajgvne71hCAeA
• 提取码：1234

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