实变函数精解【3】

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点集
- 求导集
闭集
参考文献

点集

求导集

例1
$E=\{1/n+1/m:n,m \in N\} \\1.\lim_{n \rightarrow \infty}(1/n+1/m)=1/m \\2.\lim_{n,m \rightarrow \infty}(1/n+1/m)=0 \\3.E'=\{0,1,1/2,1/3,....\}$
例2
$E=\{(\sqrt m-\sqrt n)/(\sqrt m +\sqrt n):m,n \in N\} \\1.(\sqrt m-\sqrt n)/(\sqrt m +\sqrt n)=1-\frac {2} {\sqrt {m \over n}+1} \\2.\lim_{n \rightarrow \infty }(1-\frac {2} {\sqrt {m \over n}+1})=-1 \\3.\lim_{m \rightarrow \infty }(1-\frac {2} {\sqrt {m \over n}+1})=1 \\4.\lim_{n,m \rightarrow \infty }(1-\frac {2} {\sqrt {m \over n}+1})=\lim_{n,m \rightarrow \infty }(1- \frac 1 2 \frac {1} {\sqrt {m \over n}+1}) \\\frac {1} {\sqrt {m \over n}+1} < 1=> \\-1 <\lim_{n,m \rightarrow \infty }(1- \frac 1 2 \frac {1} {\sqrt {m \over n}+1})<1 \\E'=[-1,1]$
例3
$E=\{x_n=sinlnn:n \in N\}$

在这里插入图片描述

$\lim_{n \rightarrow \infty}lnn=\infty \\-1\le \lim_{n \rightarrow \infty}sinlnn \le1 \\E'=[-1,1]$

闭集

$\subset R^n,E \supset E'=>E为闭集$
$\bar E=E \cup E'=>E为闭包$
$\subset B,\bar A=B=>A在B中稠密,A是B的稠密子集$
下面内容由文心一言生成

在实变函数中，闭集是一个重要的概念，它与开集相对。以下是对实变函数中闭集的详细解释：

定义：

在实数集R（或更一般的度量空间、拓扑空间）中，闭集是指包含其所有极限点的集合。
换句话说，如果一个集合的所有极限点都属于该集合本身，则它是闭集。

性质：

闭集在并集、交集和补集运算下具有良好的性质。
任意多个闭集的交集仍然是闭集。
有限个闭集的并集也是闭集。
闭集的补集是开集（在实数集R中）。

例子：

在实数集R中，闭区间[a, b]是一个闭集，因为它包含了其所有边界点a和b，以及区间内的所有点。
单点集{x}也是一个闭集，因为它只包含一个点，该点自然是它自己的极限点。
空集∅也是一个闭集，因为它不包含任何点，所以也没有极限点需要包含。

与开集的关系：

开集和闭集是相对的。一个集合是开集当且仅当它的补集是闭集。
在实数集R中，开区间(a, b)是一个开集，而它的补集是闭集，由两个闭区间和两个单点集组成：(-∞, a] ∪ [b, +∞) ∪ {a} ∪ {b}（但通常我们只说它的补集包含(-∞, a]和[b, +∞)这两部分，因为单点集在实数轴上可视为闭集）。

闭包与闭集的关系：

任何一个集合S的闭包都是闭集。
闭包是包含S的最小闭集，即S的闭包是包含S的所有闭集中的最小者（在包含关系下）。

综上所述，闭集是实变函数中一个基本而重要的概念，它与开集、闭包等概念紧密相关，并在数学分析中发挥着重要作用。

在点集拓扑学中，对于实数集R（或更一般的度量空间、拓扑空间）中的一个点集E，E的闭包通常定义为E与E的所有极限点（或聚点）的并集，记作Ē或E∪E′。这里，E′表示E的导集，即E中所有聚点的集合。聚点的定义是：对于E中的点x，如果存在一个包含x的邻域U，使得U与E的交集（去掉x后）非空，则称x为E的聚点。
性质：闭包是包含原集合的最小闭集。即，对于任意集合E，其闭包Ē是包含E的所有闭集中最小的一个。
例子：考虑实数集R上的开区间(0,1)，其闭包是闭区间[0,1]，因为0和1是(0,1)的聚点。