有倾斜的椭圆函数图像绘制

为了确定椭圆的长轴和短轴的方向，可以变换方程来观察。通过将 x 和 y 进行线性变换来消除 xy 项。首先，定义新的变量 u 和 v 如下：
u = x + y
v = x - y
通过代入这些变量，并进行一些计算，我们可以将原方程转化为新的方程：
u^2 + 3 v ^2 = 4
该方程描述了一个椭圆，其中 u 轴和 v 轴对应于原方程中的长轴和短轴。由于 u ^ 2 的系数大于 v^2 的系数，所以 u 轴是椭圆的长轴，而 v 轴是椭圆的短轴。
因此，原方程 x^2 + y ^2 + xy = 1 描述的曲线是一个有倾斜的椭圆，它的长轴和短轴与坐标轴不平行。

xy交叉项引入斜线

相对于标准圆，函数图像会整体向左偏移或向右偏移，也遵循“左加右减”的规律。

负向斜线成分

当我们观察方程 “x^2 + y^2 + xy = 1” 的图像时，我们会注意到它相对于标准单位圆的图像发生了左偏移。
这是由于 xy 交叉项的存在，它在图像中引入了额外的负向斜线成分，导致图像整体向左偏移。

正向斜线成分

正向斜线成分对应的函数表达式可以通过将 xy 交叉项拆解出来来表示。假设我们用一个新的变量 t = x + y 来表示 x 和 y 的和。则我们可以将方程 “x^2 + y^2 + xy = 1” 改写为：
(x + y)^2 - 2xy + xy = 1
化简得：
t^2 - xy = 1
这个新的方程 t^2 - xy = 1 描述了正向斜线成分。在这个方程中，x 和 y 出现在 xy 交叉项中，而该交叉项的系数为 -1。
正向斜线成分对应的函数表达式是 t^2 - xy = 1，其中 t = x + y。这个方程描述了图像中的正向斜线部分。

x^2 + y^2 + xy = 1 （负向）

clc,clear,close all;
% 定义方程
eqn = @(x, y) (x.^2 + y.^2 + x.* y ) - 1;

% 绘制方程曲线和坐标轴
ezplot(eqn, [-2, 2, -2, 2])
hold on  % 在同一图形中保持绘图

% 绘制 x 坐标轴
plot([-2, 2], [0, 0], 'k-')  % 绘制水平线段

% 绘制 y 坐标轴
plot([0, 0], [-2, 2], 'k-')  % 绘制垂直线段

hold off  % 结束绘图区域的保持

xlabel('y')
ylabel('x')
title('函数绘制结果')
grid on

绘制结果

x^2 + y^2 - xy = 1 （正向）

clc,clear,close all;
% 定义方程
eqn = @(x, y) (x.^2 + y.^2 - x.* y ) - 1;

% 绘制方程曲线和坐标轴
ezplot(eqn, [-2, 2, -2, 2])
hold on  % 在同一图形中保持绘图

% 绘制 x 坐标轴
plot([-2, 2], [0, 0], 'k-')  % 绘制水平线段

% 绘制 y 坐标轴
plot([0, 0], [-2, 2], 'k-')  % 绘制垂直线段

hold off  % 结束绘图区域的保持

xlabel('y')
ylabel('x')
title('函数绘制结果')
grid on

绘制结果