摘要 介绍错数:任给一个单变元函数,当自变量被截断时,函数值中含有的错误的有效数字个数,并给出其计算方法。
首先,从字面上看,错数表示错误的有效数字个数。
下面从一个略显粗糙的化简过程,推出错数的计算方法。
众所周知,导数是函数的变化量与自变量的变化量的比值的极限:
.
如果 比较小,那么函数值的变化量约等于导数与自变量的变化量的乘积:
不妨用科学记数法表示它们(这里稍作修改:小数点前为0, 、 及 均为 的数字,并且 、 及 均不为0):
假设自变量与函数值均保留 位有效数字,并且自变量与函数值中分别有 位与 位错误数字。这时,有
其中 , . 上式意味着 有 位整数。
同理可得, 有 位整数。另外, 有 位整数。因此,由 可得
即
上式表示,函数值的错误数字个数比自变量的错误数字个数多 位。
若自变量被截断了,只有 位正确数字。这时,. 那么,函数值中含有
位错误数字。
以上就是错数的计算方法。
还记得计算机的错误计算(七)中内容吗:“对于exp(x) 函数来说,若 有表示误差,并有 k 位整数,则计算机有时会产生约 k 位错误数字”(注:这里的 k 不是 上面的 )。
设 则 有 3位整数,即 而对于函数 exp(x) 来说,其导数也为 exp(x)。因此在很小的邻域内, 所以,错数为
这就是为什么 exp(x) 的错数为 x 的整数位数的原因。这也就是软件关于 exp(x) 的输出总是有 几位数字出错的原因。
最后,利用错数的计算公式,您不妨分析一下其它函数?