【机器学习】必会数学知识：一文掌握数据科学核心数学知识点(下)，收藏~

核心数学知识点

1、引言
2、数据科学必会数学知识
- 2.13 K均值聚类
- 2.14 决策树
- 2.15 随机森林
- 2.16 梯度下降
- 2.17 随机梯度下降（SGD）
- 2.18 卷积
- 2.19 拉普拉斯变换
- 2.20 傅里叶变换
- 2.21 信息论
- 2.22 时间序列分析
- 2.23 生成模型与判别模型
- 2.24 支持向量机（SVM）
- 2.25 均方误差(MSE)
- 2.26 L2 正则化
3、总结

1、引言

小屌丝：鱼哥，数学知识点下一部分呢。
小鱼：别着急，别着急，这就来了。
小屌丝：一点都不自觉，还得我提醒呢。
小鱼：…
在这里插入图片描述

2、数据科学必会数学知识

2.13 K均值聚类

定义：一种分组数据的方法，将数据点划分为K个簇。
核心原理：欧氏距离、质心更新。
用法：数据挖掘、图像分割。
算法公式：质心更新 $\mu_j = \frac{1}{|C_j|} \sum_{x_i \in C_j} x_i$
代码示例：

from sklearn.cluster import KMeans

X = [[1, 2], [1, 4], [1, 0], [10, 2], [10, 4], [10, 0]]
kmeans = KMeans(n_clusters=2, random_state=0).fit(X)

2.14 决策树

定义：一种递归分割数据的树形模型，用于分类和回归。
核心原理：信息增益、基尼系数、剪枝。
用法：分类、回归、特征选择。
算法公式：信息增益 $\sum_{v \in Values(a)} \frac{|D_v|}{|D|}H(D_v)$
代码示例：

from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
X = [[0, 0], [1, 1]]
y = [0, 1]
tree = DecisionTreeClassifier().fit(X, y)

2.15 随机森林

定义：通过合并多个决策树模型提高预测准确性的技术。
核心原理：集成学习、Bagging、随机子空间。
用法：分类、回归、特征重要度评估。
算法公式：树的预测加权平均 $\hat{f} = \frac{1}{K} \sum_{k=1}^K f_k$
代码示例：

from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier

X = [[0, 0], [1, 1]]
y = [0, 1]
rf = RandomForestClassifier(n_estimators=10).fit(X, y)

2.16 梯度下降

定义：一种优化算法，用于最小化成本函数。
核心原理：损失函数、梯度计算、学习率。
用法：模型参数优化、神经网络训练。
算法公式： $\theta = \theta - \eta \nabla J(\theta)$
代码示例：

import numpy as np

def gradient_descent(x, y, theta, alpha, iterations):
    m = len(y)
    for _ in range(iterations):
        gradient = np.dot(x.T, (np.dot(x, theta) - y)) / m
        theta -= alpha * gradient
    return theta

2.17 随机梯度下降（SGD）

定义：一种基于梯度下降的优化算法，但每次迭代只使用一个样本。
核心原理：随机扰动、收敛性、学习率。
用法：大规模数据集的优化。
算法公式： $\theta_{i} = \theta_{i-1} - \eta \nabla J(\theta_{i-1}; x^{(i)}, y^{(i)})$
代码示例：

from sklearn.linear_model import SGDClassifier

X = [[0, 0], [1, 1]]
y = [0, 1]
sgd = SGDClassifier().fit(X, y)

2.18 卷积

定义：一种运算，用于信号、图像、数据特征提取。
核心原理：滤波、滑动窗口、卷积核。
用法：卷积神经网络（CNN）、图像处理。
算法公式： $\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t - \tau)d\tau$
代码示例：

import numpy as np
from scipy.signal import convolve2d

image = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
kernel = np.array([[1, 0], [0, -1]])
result = convolve2d(image, kernel, mode='valid')

2.19 拉普拉斯变换

定义：用于把微分方程转化为代数方程的一种积分变换。
核心原理：函数变换、线性运算。
用法：信号处理、控制系统。
算法公式： $\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$
代码示例：

from sympy.integrals.transforms import laplace_transform
from sympy import symbols, exp

t, s = symbols('t s')
f = exp(-t)
F = laplace_transform(f, t, s)

2.20 傅里叶变换

定义：将时间域信号转换到频域的一种变换技术。
核心原理：频谱分析、滤波。
用法：信号处理、图像处理。
算法公式： $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$
代码示例：

import numpy as np

x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 10)
y = np.sin(x)
y_fft = np.fft.fft(y)

2.21 信息论

定义：研究信息的度量、传递和压缩的理论。
核心原理：熵、互信息、编码定理。
用法：数据压缩、特征选择。
算法公式：熵 $-\sum_{i} P(x_i) \log P(x_i)$
代码示例：

from sklearn.feature_selection import mutual_info_classif

X = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]
y = [0, 1, 0]
mi = mutual_info_classif(X, y)

2.22 时间序列分析

定义：分析时间序列数据的统计方法。
核心原理：自相关、移动平均、ARIMA模型。
用法：经济预测、库存控制。
算法公式： ARIMA模型 $Y_t = c + \varphi_1 Y_{t-1} + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1}$
代码示例：

import pandas as pd
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA

data = pd.Series([1, 2, 3, 4, 5, 6])
model = ARIMA(data, order=(1, 1, 1))
model_fit = model.fit()

2.23 生成模型与判别模型

定义：生成模型尝试建模输入数据及其标签的联合概率分布，而判别模型则直接建模标签条件概率。
核心原理：生成模型（如高斯混合模型）、判别模型（如逻辑回归）。
用法：分类、聚类。
算法公式：
- 生成模型 $P (X, Y) = P (Y) P (X ∣ Y)$ ；
- 判别模型 $P (Y ∣ X)$
代码示例：

from sklearn.mixture import GaussianMixture
'''
生成模型 - 高斯混合模型 
'''
X = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]
gmm = GaussianMixture(n_components=2).fit(X)

2.24 支持向量机（SVM）

定义：一种监督学习模型，用于分类和回归。
核心原理：最大间隔分类、核函数。
用法：分类、回归、异常检测。
算法公式：决策边界 $w^T x + b = 0$
代码示例：

from sklearn.svm import SVC

X = [[0, 0], [1, 1]]
y = [0, 1]
clf = SVC().fit(X, y)

2.25 均方误差(MSE)

定义：一种衡量预测值与实际值之间差异的度量方法。
核心原理：最小化均方误差，找到最优的模型参数。
用法：回归模型的损失函数。
算法公式： $\text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2$
代码示例：

import numpy as np

# 示例数据
y_true = np.array([3.0, -0.5, 2.0, 7.0])
y_pred = np.array([2.5, 0.0, 2.0, 8.0])

# 计算MSE
mse = np.mean((y_true - y_pred)**2)
print("MSE:", mse)

2.26 L2 正则化

定义：通过在损失函数中增加所有参数的平方和来惩罚大幅度的权重，旨在防止模型过拟合。
核心原理：通过惩罚较大的权重系数来减少模型的复杂度。
用法：线性回归、逻辑回归、神经网络。
算法公式： $J(\theta) = \text{MSE} + \frac{\lambda}{2} \sum_{j=1}^{m} \theta_j^2$
代码示例：

from sklearn.linear_model import Ridge
import numpy as np

# 示例数据
X = np.array([[1, 1], [1, 2], [2, 2], [2, 3]])
y = np.dot(X, np.array([1, 2])) + 3

# 创建Ridge回归模型
ridge = Ridge(alpha=1.0)
ridge.fit(X, y)

# 预测
y_pred = ridge.predict(X)

# 计算MSE
mse_ridge = np.mean((y - y_pred)**2)
print("MSE with L2 regularization:", mse_ridge)