深度学习概述
- 1. 线性回归
- 1.1 线性回归一般表达式
- 1.2 线性回归内积表达方式：
- 1.3 多个样本时，线性回归的进一步表达：
- 1.4 线性回归方程的解析
- 1.5 线性回归就是求loss函数的最小值
- 2. 如何求函数最小值
- 2.1 一个例子
- 2.2 求导法——求最小值
- 2.3 求导法存在的问题
- 2.4 迭代法——求最小值
- 3. 代码实现
- 3.1 手动求函数最小值
- 3.2 使用pytorch求函数最小值
原文： https://blog.csdn.net/Deadwalk/article/details/139606252?spm=1001.2014.3001.5502
1. 线性回归
1.1 线性回归一般表达式
-
y
=
f
(
x
)
=
x
1
w
1
+
x
2
w
2
+
.
.
.
+
x
n
w
n
+
b
y = f(x) = x_1w_1 + x_2w_2 + ... + x_nw_n + b
y=f(x)=x1w1+x2w2+...+xnwn+b
- ( x 1 、 x 2 、 x n ) ：输入特征向量 ( x ) 的各个特征值，代表输入数据的特征。 (x_1、x_2、x_n)：输入特征向量 ( x ) 的各个特征值，代表输入数据的特征。 (x1、x2、xn)：输入特征向量(x)的各个特征值，代表输入数据的特征。
- ( w 1 、 w 2 、 w n ) ：权重向量 ( w ) 的各个权重值，用来衡量每个特征对输出的影响程度。 (w_1、w_2、w_n)：权重向量 ( w ) 的各个权重值，用来衡量每个特征对输出的影响程度。 (w1、w2、wn)：权重向量(w)的各个权重值，用来衡量每个特征对输出的影响程度。
- ( b ) ：偏置项，也称为截距项，用来调整模型的输出值，即在没有特征输入时的输出值。 ( b )：偏置项，也称为截距项，用来调整模型的输出值，即在没有特征输入时的输出值。 (b)：偏置项，也称为截距项，用来调整模型的输出值，即在没有特征输入时的输出值。
- ( y ) ：模型的输出值，即线性回归模型对输入特征的预测值。 ( y )：模型的输出值，即线性回归模型对输入特征的预测值。 (y)：模型的输出值，即线性回归模型对输入特征的预测值。
1.2 线性回归内积表达方式：
-
y
=
f
(
x
)
=
x
@
w
+
b
y = f(x) = x@w+ b
y=f(x)=x@w+b
- x @ w ：特征向量 ( x ) 与权重向量 ( w ) 的内积 x@w：特征向量 ( x ) 与 权重向量( w ) 的内积 x@w：特征向量(x)与权重向量(w)的内积
1.3 多个样本时，线性回归的进一步表达：
-
y
=
f
(
X
)
=
X
@
w
+
b
y = f(X) = X@w+ b
y=f(X)=X@w+b
- X ：特征矩阵，矩阵的行是一条一条的样本，矩阵的列是多个特征向量。 X：特征矩阵，矩阵的行是一条一条的样本，矩阵的列是多个特征向量。 X：特征矩阵，矩阵的行是一条一条的样本，矩阵的列是多个特征向量。
1.4 线性回归方程的解析
- 在训练时，x和y是训练集中的特征和标签，看作是常量；w和b是待优化的参数值，看作是变量。
- 在推理时，w和b已经找到了比较合适的值固定下来，看作常量；此时x是待预测的样本的特征，是变量；
- 预测的本质：把x带入，求解y。
1.5 线性回归就是求loss函数的最小值
- 训练过程
- 从训练集中取出一对x 和y
- 把x带入模型，求解预测结果y_pred
- 找到一种方法，度量y和y_pred的误差loss
- 由此推导：
- loss是y和y_pred的函数；
- y_pred是模型预测的结果，是w和b的函数；
- 所以简单来说，loss也是w和b的函数
- 训练的本质
由上图推导结果可知，训练的本质就是求解loss什么时候是最小值。当w和b取得什么值的时候，loss最小。
2. 如何求函数最小值
2.1 一个例子
-
y
=
2
x
2
y= 2x^2
y=2x2
- 上述这个示例中，求y最小值是比较简单的，从图形中可以看到x=0时，y=0为最小值。但是实际工程中，并不是所有的函数y=f(x)都能画出来，简单地找到最小值，此时就需要使用导数求最小值。
2.2 求导法——求最小值
- 通过回归导数求极值的方法，我们知道大致步骤如下：
- 第一步：求函数的导数
- 第二步：令导数等于零
- 第三步：解方程，求出疑似极值点
- 第四步：验证该点是否是极值点以及是什么极值点
2.3 求导法存在的问题
- 求导的方法是有一定前提条件的，即：
- 第一步的求(偏)导数是可以求得的；
- 第三步(偏)导数为零后，方程(组)是可以解的。
- 实际工程中，上述方法是不可行的。以Llama3-8B模型为例，其有80亿个输入参数 x，按照上述的求解方法是几乎无法求得最小值的！
- 由此可知，通过推导公式期望一次性求得最小值是不现实的；而我们可以借鉴人工智能中一个重要的思想：迭代法来逐步求解最小值。
2.4 迭代法——求最小值
- 原理如下图：
-
随机选择一个出生点
x
0
：
随机选择一个出生点x_0：
随机选择一个出生点x0：
- 当 x 0 在最小值的左侧时： x 0 + 正数（一个非常小的正数），向右侧移动，而最小值左侧的导数是负数，所以可以看作 x 0 − 导数 当x_0在最小值的左侧时：x_0 + 正数（一个非常小的正数），向右侧移动，而最小值左侧的导数是负数，所以可以看作 x_0 - 导数 当x0在最小值的左侧时：x0+正数（一个非常小的正数），向右侧移动，而最小值左侧的导数是负数，所以可以看作x0−导数
- 当 x 0 在最小值的右侧时： x 0 − 正数（一个非常小的正数），向左侧移动，而最小值右侧的导数是正数，所以也可以看作 x 0 − 导数 当x_0在最小值的右侧时：x_0 - 正数（一个非常小的正数），向左侧移动，而最小值右侧的导数是正数，所以也可以看作 x_0 - 导数 当x0在最小值的右侧时：x0−正数（一个非常小的正数），向左侧移动，而最小值右侧的导数是正数，所以也可以看作x0−导数
- 当 x 0 是最小值时： x 0 不需要移动，而此处的导数也正是 0 ，所以依然可以看作 x 0 − 导数 当x_0是最小值时：x_0不需要移动，而此处的导数也正是0，所以依然可以看作 x_0 - 导数 当x0是最小值时：x0不需要移动，而此处的导数也正是0，所以依然可以看作x0−导数
- 梯度下降的概念
- 在一元函数中，求函数f(x)在某一点的斜率为导数；在多元函数中，称为偏导数，也就是梯度。
- 减去导数也就是减去梯度，这就是梯度下降法！
3. 代码实现
3.1 手动求函数最小值
- 以 y = 2 x 2 y= 2x^2 y=2x2
import numpy as np
def fn(x):
"""
原始函数
"""
return 2 * x ** 2
def dfn(x):
"""
导函数
"""
return 4 * x
def gradient_descent(x0, learning_rate, dfn, epochs):
"""
使用梯度下降法求函数的最小值
Parameters:
x0 (float): 初始点的位置
learning_rate (float): 学习率
dfn (function): 导函数
epochs (int): 迭代次数
Returns:
x_min (float): 最小值点的位置
"""
for _ in range(epochs):
x0 = x0 - learning_rate * dfn(x0)
return x0
# 随机选择一个出生点
x0 = np.random.randint(low=-1000, high=1000, size=1)
# 迭代次数
epochs = 1000
# 学习率
learning_rate = 1e-2
# 使用梯度下降法求最小值
x_min = gradient_descent(x0, learning_rate, dfn, epochs)
# 输出最小值
print("最小值点的位置：", x_min)
- f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 f ( x , y , z ) = x^2 + y^2 + z^2 f(x,y,z)=x2+y2+z2
import numpy as np
def df_x(x, y, z):
"""
f 对 x 求偏导
"""
return 2 * x
def df_y(x, y, z):
"""
f 对 y 求偏导
"""
return 2 * y
def df_z(x, y, z):
"""
f 对 z 求偏导
"""
return 2 * z
# 随机选择出生点
x0 = np.random.randint(low=-1000, high=1000, size=(1,))
y0 = np.random.randint(low=-1000, high=1000, size=(1,))
z0 = np.random.randint(low=-1000, high=1000, size=(1,))
# 迭代次数
epochs = 1000
# 学习率
learning_rate = 1e-2
for _ in range(epochs):
# 求解每个变量的偏导
fx = df_x(x0, y0, z0)
fy = df_y(x0, y0, z0)
fz = df_z(x0, y0, z0)
# 每个变量都减去自己的偏导
x0 = x0 - learning_rate * fx
y0 = y0 - learning_rate * fy
z0 = z0 - learning_rate * fz
# 输出更新后的变量值
print("更新后的 x 值：", x0)
print("更新后的 y 值：", y0)
print("更新后的 z 值：", z0)
3.2 使用pytorch求函数最小值
- 以 y = 2 x 2 y= 2x^2 y=2x2
import torch
# 定义原始函数和导函数
def fn(x):
return 2 * x ** 2
# 说明：pytorch可以通过grad函数求导，所以可以省去写导函数
# def dfn(x):
# return 4 * x
# 随机选择出生点
# requires_grad=True用来告诉框架该变量是一个张量，需要计算梯度。
x0 = torch.randint(low=-1000, high=1001, size=(1,),
dtype=torch.float32,
requires_grad=True)
# 迭代次数
epochs = 1000
# 学习率
learning_rate = 1e-2
# 使用 PyTorch 进行梯度下降
for _ in range(epochs):
# 正向传播计算损失
loss = fn(x0)
# 反向传播计算梯度
loss.backward()
# 获取梯度并更新参数
with torch.no_grad():
grad = x0.grad
x0 -= learning_rate * grad
# 梯度清零
x0.grad.zero_()
# 输出最小值点的位置
print("最小值点的位置：", x0.item())
- 以 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 f ( x , y , z ) = x^2 + y^2 + z^2 f(x,y,z)=x2+y2+z2 为例
import torch
def fn(x, y, z):
"""
函数定义
"""
return x**2 + y**2 + z**2
# 说明：pytorch可以通过grad函数求导，所以可以省去写导函数
# def df_x(x, y, z):
# return 2 * x
# def df_y(x, y, z):
# return 2 * y
# def df_z(x, y, z):
# return 2 * z
# 随机选择出生点
x0 = torch.randint(low=-1000, high=1001, size=(1,),
dtype=torch.float32,
requires_grad=True)
y0 = torch.randint(low=-1000, high=1001, size=(1,),
dtype=torch.float32,
requires_grad=True)
z0 = torch.randint(low=-1000, high=1001, size=(1,),
dtype=torch.float32,
requires_grad=True)
# 迭代次数
epochs = 1000
# 学习率
learning_rate = 1e-2
# 使用 PyTorch 进行梯度下降
for _ in range(epochs):
# 正向传播计算损失
loss = fn(x0, y0, z0)
# 反向传播计算梯度
loss.backward()
# 获取梯度并更新参数
# 在测试阶段或者不需要计算梯度的情况下使用 torch.no_grad()
# 以提高计算效率并避免不必要的梯度计算。
with torch.no_grad():
x0 -= learning_rate * x0.grad
y0 -= learning_rate * y0.grad
z0 -= learning_rate * z0.grad
# 梯度清零
x0.grad.zero_()
y0.grad.zero_()
z0.grad.zero_()
# 输出更新后的变量值
print("更新后的 x 值：", x0.item())
print("更新后的 y 值：", y0.item())
print("更新后的 z 值：", z0.item())
