数据结构--堆，堆排序

1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。

有一个 特殊的结点，称为根结点 ，根结点没有前驱结点

除根结点外， 其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 …… 、 Tm ，其中每一个集合 Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个

因此， 树是递归定义 的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2树的相关概念

结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；如上图：A的为6

叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I...等结点为叶结点

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G...等结点为分支结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点

树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；如上图：树的度为6

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子

孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType data; // 结点中的数据域
};

1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合 :

1. 或者为空

2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于 2 的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3.堆

3.1堆的性质

堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；

堆总是一棵完全二叉树。

完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆 使用顺序结构的数组来存储

堆顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

堆分为大堆（某个结点的值总是不小于父结点）与小堆（某个结点的值总是不大于父结点）

3.2堆的实现

3.2.1 堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根结点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

3.2.2堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根结点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？

这里我们从倒数的第一个非叶子结点的子树开始调整，一直调整到根结点的树，就可以调整成堆。

3.2.3 堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆

3.2.4 堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

3.2.5 堆的代码实现

#include"Heap.h"
//初始化
void HPInit(HP* php)
{
	assert(php);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

//销毁
void HPDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

//交换函数
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;//找父结点：子节点-1/2
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);//交换函数
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else//如果child<0，表明child来到了树根
		{
			break;
		}
	}
}
//插入
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	if (php->size == php->capacity)
	//当 php->size 等于 php->capacity 时，表示当前数组 php->a 已经存储满了，需要进行扩容操作。
	{
		int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;//如果capacity为0，赋4，不为0，乘2扩两倍
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));//扩容
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			return;
		}

		php->a = tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
	//先假设左孩子小
	int child = parent * 2 + 1;//找子结点，父结点*2+1

	while (child < n)
	{
		//找到小的那个孩子结点
		if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])//左孩子是child，右孩子就是child+1
		{
			++child;
		}
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
//删除，从树根删除
void HPPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);//树根数据跟最后的叶子交换
	php->size--;//删除树根数据

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);//向下调整，重新调整为（大/小）堆
}
//取树根数据
HPDataType HPTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	return php->a[0];
}
//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}

3.3堆排序

1. 建堆

升序：建大堆

降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

// 堆排序    O(N*logN)
void HeapSort(int* a, int n)
{
	// 降序，建小堆
	// 升序，建大堆
	/*for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		AdjustUp(a, i);
	}*/

	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}

	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);//最后的叶子结点，也就是数组最后的那个数据，跟树根数据循环交换，
		//如果是小堆，每次取到最小的数据，最后调整为降序
		AdjustDown(a, end, 0);
		--end;
	}
}
void TestHeap2()
{
	int a[] = { 4,2,8,1,5,6,9,7,2,7,9 };
	HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));
}