一、时间复杂的的概念

1、定义

时间复杂度（time complexxity）是一个定性描述该算法运行时间的函数，它代表算法输入值的字符串的长度。时间复杂度常用O表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。

时间复杂度的大小比较：

时间复杂度的分类：

1. 算法完成工作最少需要多少基本操作叫做最优时间复杂度，是一种最乐观理想的状态；
2. 算法完成工作需要多少基本操作叫做最坏时间复杂度，是算法的一个保障；
3. 算法完成工作平均需要多少基本操作叫做平均时间复杂度，它可以均匀全面地评价一个算法的好坏。

2、基本计算规则

4. 基本操作即只有常数项，认为其时间复杂度为O(1)；
5. 顺序结构，时间复杂度按加法计算；
6. 循环结构，时间复杂度按乘法计算；
7. 分支结构，时间复杂度取最大值；
8. 判断一个算法效率时，往往只需要关注操作的最高次项，其他次要项和常数项可以忽略；
9. 在没有特殊说明时，我们所分析的时间复杂度都是最坏时间复杂度。

二、单层循环时间复杂度计算公式

计算步骤：

1. 列出循环趟数t及每轮循环i的变化值
2. 找到t与i的关系
3. 确定循环停止条件
4. 联立两式解方程
5. 写结果

例题分析一：

i = n*n;
whlie(i != 1)
    i = i/2;

第一步：列出循环趟数t和每轮循环i的变化值

t	0	1	2	3
i	n^2	(n^2)/2	(n^2)/4	(n^2)/8

第二步：找到t和i的关系
i = (n^2)/2t
第三步：确定循环停止条件
i =1
第四步：联立第二步和第三步两式解方程：

所以得到的时间复杂度为：

例题分析二：

x = 0;
whlie(n>=(x+1)*(x+1))
    x = x+1;

第一步：列出循环趟数t和每轮循环x的值：

t	0	1	2	3
x	0	1	2	3

第二步：找到t与x的关系：
t = x
第三步：确定循环停止的条件

第四步：联立第二步和第三步解方程

所以时间复杂度为：

三、双层循环时间复杂度计算公式

解题步骤：

1. 列出循环中i的变化值
2. 写出内层语句的执行次数
3. 求和，写结果

例题分析一：

int m = 0, i , j;
for(i = 1; i<=n;i++)
    for(j = 1;j<=2*i;j++)
        m++;

第一步：列出循环中i的变化值

i	1	2	3	4	5	6	7	…	n

第二步：写出内层语句的执行次数

内层语句执行次数	2	4	6	8	10	…	2*n

第四步：求和，写结果
2+4+6+8+…+2*n = n(n+1)
所以时间复杂度为：

例题分析二：

for(i = 0;i<n;i++)
    for(j=0;j<m;j++)
        a[i][j] = 0;

第一步：列出循环中i的变化值

i	0	1	2	3	4	…	n-1

第二步：写出内层语句执行次数

内层语句执行次数	m	m	m	m	…	m

第三步：求和，写结果
m * (n-1-0+1) = m*n

例题分析三：

count = 0;
for(k=1;k<=n;k*=2)
    for(j=1;j<=n;j++)
        count ++;

注意此处外层循环中不是k++而是k *=2，所以先计算外层循环的单层时间复杂度：

循环趟数t	1	2	3	4	5	6
k	1	2	4	8	16	32

循环趟数t和k关系：

循环停止条件为：k =n
联立两式，得：

外层的时间复杂度就为：

计算内层时间复杂度为O(n)
总体时间复杂度为：

四、多层循环时间复杂度计算公式

例题分析一：

for(i=0;i<=n;i++)
    for(j=0;j<=i;j++)
       for(k=0;k<j;k++)

1、法一：抽象为计算三维物体的体积

时间复杂度为：

2、法二：列式求和