一．实验目的

1了解图像变换的意义和手段；

2熟悉傅立叶变换的基本性质；

3熟练掌握FFT变换方法及应用；

4通过实验了解二维频谱的分布特点；

5通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅立叶变换。

6评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。

二．实验内容：

1． 将图像内容读入内存；

2． 用Fourier变换算法，对图像作二维Fourier变换；

3． 将其幅度谱进行搬移，在图像中心显示；

4． 用Fourier系数的幅度进行Fourier反变换；

5． 用Fourier系数的相位进行Fourier反变换；

6． 比较4、5的结果，评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。

7． 记录和整理实验报告。

三．实验程序、实验结果与实验分析：

1.实验程序

I = imread('Lenna.jpg');

I_gray = rgb2gray(I);

figure;

subplot(2, 2, 1);

imshow(I);

title('原始图像');

F = fft2(double(I_gray));

F_shifted = fftshift(F);

amplitude_spectrum = log(1 + abs(F_shifted));

subplot(2, 2, 2);

imshow(amplitude_spectrum, []);

title('幅度谱');

reconstructed_amplitude = ifft2(abs(F));

reconstructed_phase = ifft2(exp(1i * angle(F)));

subplot(2, 2, 3);

imshow(mat2gray(abs(reconstructed_amplitude)));

title('使用幅度谱的反变换结果');

subplot(2, 2, 4);

imshow(mat2gray(abs(reconstructed_phase)));

title('使用相位谱的反变换结果');

2.实验结果

3.实验分析

①读取图像，转换为灰度图像以简化处理

I = imread('Lenna.jpg');

I_gray = rgb2gray(I);

②用Fourier变换算法对图像作二维Fourier变换

F = fft2(double(I_gray));

③将幅度谱进行搬移，在图像中心显示

F_shifted = fftshift(F);

amplitude_spectrum = log(1 + abs(F_shifted));

④显示幅度谱

subplot(2, 2, 2);

imshow(amplitude_spectrum, []);

title('幅度谱');

⑤用Fourier系数的幅度进行Fourier反变换

reconstructed_phase = ifft2(exp(1i * angle(F)));

⑥用Fourier系数的相位进行Fourier反变换

reconstructed_phase = ifft2(exp(1i * angle(F)));

⑦显示幅度谱反变换结果

subplot(2, 2, 3);

imshow(mat2gray(abs(reconstructed_amplitude)));

title('使用幅度谱的反变换结果');

⑧显示相位谱反变换结果

subplot(2, 2, 4);

imshow(mat2gray(abs(reconstructed_phase)));

title('使用相位谱的反变换结果');

四．思考题

1．傅里叶变换有哪些重要的性质?

• 线性性：傅里叶变换是线性的，即对于任意标量α和β以及函数f(x)和g(x)，有F(αf(x) + βg(x)) = αF(f(x)) + βF(g(x))。
• 平移性：如果f(x)的傅里叶变换是F(u)，则f(x - x0)的傅里叶变换是F(u) * exp(-i2πux0)。
• 对称性：实函数的傅里叶变换具有对称性，即实函数的傅里叶变换的实部是偶函数，虚部是奇函数。
• 频率域的微分：对于函数f(x)和其傅里叶变换F(u)，其导数在频率域上的傅里叶变换是iuF(u)。
• 卷积定理：傅里叶变换将卷积操作转换为点乘操作，即f(x) * g(x)的傅里叶变换是F(u)G(u)。

2．图像的二维频谱在显示和处理时应注意什么?

• 频率域中心化：在显示二维频谱时，通常会对其进行中心化处理，以使低频成分位于图像中心，而高频成分位于图像边缘。这有助于更直观地理解图像的频率特性。
• 对数变换：频谱的幅度经常采用对数变换进行显示，以增强低幅度的频率分量，使其更易于观察。
• 振铃效应：频谱显示中的振铃效应可能会影响图像的解释。这是由于在图像边界处存在突变，导致频谱中的高频成分较多。在处理图像时，应该注意这种效应，以避免不必要的影响。
• 信息丢失：频谱显示通常只显示了频率分量，而丢失了图像的空间信息。因此，在处理图像时，必须考虑到这一点，以确保不会丢失关键的空间信息。