一、树的概念与结构
1.1 树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
- 根结点：根节点没有前驱结点。
- 除根节点外，其余结点被分成是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
- 因此，树是递归定义的。
1.2 树的相关概念
- 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为4
- 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、F、G、D、H节点为叶节点
- 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：A、C、E节点为分支节点
- 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
- 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
- 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
- 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为4
- 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
- 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为3
- 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：F、G互为兄弟节点
- 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
- 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
- 森林：由m棵互不相交的树的集合称为森林；
1.3 树的表示法
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。
在介绍以下存储结构的过程中，我们都以下面这个树为例子。
1.3.1 双亲表示法
我们假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置。也就是说，每个结点除了知道自已是谁以外，还知道它的双亲在哪里。
其中data是数据域，存储结点的数据信息。而parent是指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标。
以下是我们的双亲表示法的结点结构定义代码。
/*树的双亲表示法结点结构定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int TElemType; //树结点的数据类型，目前暂定为整型
/*结点结构*/
typedef struct TreeNode
{
TElemType data; //结点数据
int parent; //双亲位置
}TreeNode;
/*树结构*/
typedef struct
{
TreeNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; //结点数组
int r, n; //根的位置和结点数
}PTree;
这样的存储结构，我们可以根据结点的parent 指针很容易找到它的双亲结点，所用的时间复杂度为0(1)，直到parent为-1时，表示找到了树结点的根。可如果我们要知道结点的孩子是什么，对不起，请遍历整个结构才行。
1.3.2 孩子兄弟表示法
刚才我们分别从双亲的角度和从孩子的角度研究树的存储结构，如果我们从树结点的兄弟的角度又会如何呢?当然，对于树这样的层级结构来说，只研究结点的兄弟是不行的，我们观察后发现，任意一棵树， 它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。 因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。
/*树的孩子兄弟表示法结构定义*/
typedef struct TreeNode
{
TElemtype data;
struct TreeNode *firstchild, *rightsib;
} TreeNode,* pTreeNode;
1.4 树在实际中的应用
二、二叉树的概念及结构
2.1概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
- 或者为空
- 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
从上图可以看出：
- 二叉树不存在度大于2的结点
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
2.2 特殊的二叉树
- 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。
- 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.3 二叉树的性质
- 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点
- 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h-1
- 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为 n2,则有 n0＝n2 ＋1
- 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log (n+1) (ps： 是log以2为底，n+1为对数)
- 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
- 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
- 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
- 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子
2.4 二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
- 顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
2. 链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 **通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。**链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链。
三、二叉树的顺序结构及其实现
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
具体的实现及应用请查看：【数据结构】08.堆及堆的应用
四、二叉树的链式结构及其实现
4.1 二叉树的遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。
4.1.1 前序遍历
//根 左子树 右子树
void PrevOrder(pTreeNode root)
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL ");
return;
}
printf("%d ", root->val);
PrevOrder(root->left);
PrevOrder(root->right);
}
下图为递归过程：
4.1.2 中序遍历
//左子树 根 右子树
void InOrder(pTreeNode root)
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL ");
return;
}
InOrder(root->left);
printf("%d ", root->val);
InOrder(root->right);
}
下面为递归过程：
4.1.3 后序遍历
//左子树 右子树 根
void PostOrder(pTreeNode root)
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL ");
return;
}
PostOrder(root->left);
PostOrder(root->right);
printf("%d ", root->val);
}
下面为递归过程：
4.2.4 层序遍历
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
图示：
我们这里介入队列来进行二叉树的前序遍历。
// 层序遍历
void LevelOrder(pTreeNode root)
{
Queue q;
QueueInit(&q);
if (root)
{
QueuePush(&q, root);
}
while (!QueueEmpty(&q))
{
pTreeNode front = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
if (front == NULL)
{
printf("NULL ");
}
else
{
printf("%d ", front->val);
QueuePush(&q, front->left);
QueuePush(&q, front->right);
}
}
QueueDestory(&q);
}
4.1 二叉树的创建与销毁
二叉树的创建与销毁，我们以二叉树遍历为例题。
//二叉树的创建
struct TreeNode* Creat(char* arr,int n,int* i)
{
if(*i<n&&arr[*i]=='#')
{
(*i)++;
return NULL;
}
TreeNode* newnode=(TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
newnode->left=NULL;
newnode->right=NULL;
newnode->val=arr[(*i)++];
newnode->left=Creat(arr,n,i);
newnode->right=Creat(arr,n,i);
return newnode;
}
//二叉树的销毁
void TreeDestroy(struct TreeNode* root)
{
if(root==NULL)
{
return;
}
TreeDestroy(root->left);
TreeDestroy(root->right);
free(root);
}
4.3 二叉树的其他操作
以下的操作均是沿着遍历的思想展开的。
// 二叉树节点个数
int TreeSize(pTreeNode root)
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}
// 二叉树叶子节点个数
int TreeLeafSize(pTreeNode root)
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
if (root->left == NULL && root->right == NULL)
{
return 1;
}
return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}
// 二叉树第k层节点个数
int TreeLevelKSize(pTreeNode root, int k)
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
if (k == 1)
{
return 1;
}
return TreeLevelKSize(root->left, k - 1) + TreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}
// 二叉树查找值为x的节点
pTreeNode TreeFind(pTreeNode root, TreeDataType x)
{
if (root == NULL)
{
return NULL;
}
//相等就返回
if (root->val == x)
return root;
//找左子树
pTreeNode left=TreeFind(root->left, x);
if (left)
{
return left;
}
//找右子树
pTreeNode right = TreeFind(root->right, x);
if (right)
{
return right;
}
//都没找到
return NULL;
}
//二叉树的高度
int TreeHeight(pTreeNode root)
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
int max_left = TreeHeight(root->left) ;
int max_right = TreeHeight(root->right);
return max_left > max_right ? max_left + 1 : max_right + 1;
}
//判断是否是完全二叉树
bool TreeComplete(pTreeNode root)
{
Queue q;
QueueInit(&q);
if (root)
{
QueuePush(&q, root);
}
while (!QueueEmpty(&q))
{
pTreeNode front = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
if (front == NULL)
{
break;
}
else
{
QueuePush(&q, front->left);
QueuePush(&q, front->right);
}
}
while (!QueueEmpty(&q))
{
pTreeNode front = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
if (front)
{
QueueDestory(&q);
return false;
}
}
QueueDestory(&q);
return true;
}
