1、信息量、信息熵、交叉熵和困惑度

（1）信息熵：信息熵中使用 $lo{g}_2(p(x))$ 来表示对 $x$ 编码需要的编码长度。由于不同事件发生的概率不同，我们不能简单地将这些信息量相加，而应该根据它们发生的概率进行加权平均。乘上 $p(x)$ 并求和，相当于是做了加权求和。
熵值越大，所含信息量越多，事件发生的情况越不确定。熵值越小，所含信息量越小，事件发生的情况确定。

（2）交叉熵：$H(p,q)$ 是用语言模型 $q(x)$ 编码来估计真实数据分布 $p(x)$。

（3）困惑度：用来衡量模型在预测下一个词时的平均不确定性。困惑度可以被理解为每个标记（token）的平均"分支因子（branching factor）"。这里的“分支因子”可以理解为在每个位置，模型认为有多少种可能的词会出现。$perplexity(x)=P(w_1,w_2,w_3,...,w_n{)}^{-\frac{1}{n}}=2^{\frac{1}{n}lo{g}_{2}P(w_1,w_2,w_3,...,w_n)}$，这种形式让指数部分成为了交叉熵形式，同时也便于将多个相乘的概率，变为以 log 嵌套的多个相加的形式。

• 1. 困惑度为什么要有指数部分 $-\frac{1}{n}$？
• 答：施加 $\frac{-1}{n}$ 是因为要考虑语料长度的影响。如果一个句子越长，这个句子出现的概率可能会越低（比如“你好”和“你是我心中最美的云彩”这两句话，前者出现的概率很高）。（-1/N）次幂相当于一个“惩罚因子”。对于一个位于(0,1)范围的数，施加了（-1/N）次幂后，N越大，施加之后的值越小。同时，采用几何平均来归一化，而不用平均值来归一化也是为了防止有概率0出现时，可以很好的表示出这种影响。
• 2. 指数部分为什么是交叉熵？为什么是 $-\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}lo{g}_2(p(w_i|w_1,w_2,...,w_{i-1}))$ 这个形式？
• 答：使用交叉熵来度量对信息编码的二进制信息编码长度。这种形式实际上是对 $p(x)$ 的平均几何值取 $lo{g}_2$。采用平均几何值得好处是每个词标记的概率都被同等看待，并且一个极低的概率（如0）将会导致整个几何平均大幅度下降。因此，通过计算几何平均，我们可以更好地衡量模型在处理所有可能的词标记时的性能，特别是在处理那些模型可能会出错的情况。
• 3. 底数部分为什么是以2为底数？
• 答：因为指数部分的交叉熵是衡量以二进制进行编码的编码长度，所以底数部分也取2，可得到以二进制编码时，可以编码的字符串长度。之后，就可以得到模型在每个预测位置上，所考虑的可能出现的词的平均选择数量，即平均分支因子。

采用困惑度时，会遇到一些问题。

（4）pytorch中困惑度的实现
torch.nn.CrossEntropyLoss()直帮我们实现了交叉熵损失值的计算，也就是困惑度公式中指数部分。

举例：

import torch
import torch.nn as nn

# 假设我们有一个批量大小为2的输入和对应的真实标签
logits = torch.tensor([[1.0, 2.0, 3.0], [3.0, 2.0, 1.0]])
true_labels = torch.tensor([2, 0])		# 第一个样本中的第二类，第二个样本中的第一类为正例

# 注意，这里的logits直接用原始输出，不需要添加Softmax层

# 创建CrossEntropyLoss
loss_function = nn.CrossEntropyLoss()

# 计算损失
loss = loss_function(logits, true_labels)
print(loss)

nn.CrossEntropyLoss()的计算过程：
1、Softmax 转换为概率形式
对于一个logits向量 $x$，softmax函数会将每个元素 $x_i$ 转换成一个概率 $P$：$softmax(x_i)=\frac{e^{x_i}}{{\sum }_j{e}^{x_j}}$。

2、计算负对数似然
交叉熵损失函数会根据真实标签计算负对数似然。对于每个样本 𝑖，交叉熵损失计算的是实际标签对应的负对数概率： $los{s}_i=-log(softmax(x_i{)}_{y_j})$，其中 $y_j$ 是样本 $i$ 的真实标签。

3、平均损失
交叉熵损失函数会对所有样本的损失取平均值，即 $loss=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}los{s}_i$。

然后，根据上面得到交叉熵损失计算困惑度，得到困惑度。（在pytorch中计算log时使用e为底数，因此这里计算困惑度时候底数也用e）

perplexity = torch.exp(loss)				# 使用之前求得的交叉熵损失值loss

学习文章：深入理解语言模型的困惑度(perplexity)、第2章 大模型的能力、深度学习之PyTorch实战（5）——对CrossEntropyLoss损失函数的理解与学习