[算法]——堆排序（C语言实现）

简单的介绍一下用堆排序的算法对整形数据的数据进行排序。

一、堆的概念

堆是具有下列性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子节点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。

大顶堆和小顶堆的示意图：

二、堆排序的算法

因为数组具有顺序结构，而我们的完全二叉树可以使用顺序结构来表示，所以我们可以用堆对数组进行排序。

（一）、算法思路

这里介绍一下排升序的方法，等明白了思路后，排降序自然也会了。

假设数组的元素个数为n,将待排序的数组构造成一个大顶堆。此时，整个数组的最大值就是堆顶的根节点。将它移走（将其与堆数组的末尾元素进行交换，此时末尾元素就是最大值），这样我们待排序的数组的最大值就排到了正确的位置上。然后我们把剩余的n-1个元素重新构成一个大顶堆，这样堆顶元素就是我们的次大值，将其移走，次大值的元素也就排好了。如此反复执行，就得到了一个升序的数组。如果我们要排降序的数组，则需要建小顶堆。

于是我们就有了两个问题。一是：如何把一个无序的数组构建成大顶堆？在将堆顶元素移走后要怎么将剩余的数组元素重新调整为堆？

（二）、向上调整和向下调整

向上调整针对的是当将一个新的元素插入到一个堆中时，将新插入的元素向上进行调整，将其二叉树保持原来的堆的结构。如果是使用堆来对一个数组进行排序的话，使用向下调整就足够了，所以我们先讲向下调整，当我们实现了对数组的堆排序后，再回来看向上调整。

1、向下调整

向下调整的作用就是，当我们在一个堆的结构中，把堆顶元素给替换成别的值后，其堆顶处极可能已经不满足大顶堆和小顶堆的要求了，这个时候我们就需要把这个堆顶位置的元素向下调整到合适的位置，使其重新满足堆的要求。

例如下面这个例子：

这是一个大顶堆，当我们用20替换其堆顶元素时，其不再满足大顶堆的结构，这时我们需要对堆顶的20进行向下调整。具体方法如如下：

具体代码：

//向下调整为大顶堆
void AdjustDown(int* arr,int left,int right)//传入数组和要向下调整的区间
{
	int pos = left;//记录向下调整的位置
	int temp = arr[pos];//保存向下调整的值
	for (int i = left * 2; i <= right; i *= 2)//遍历其要向下调整的结点的孩子
	{
		//找到其左孩子和右孩子的最大值 如果右孩子不存在，则最大值就算为左孩子
		if (i + 1 <= right && arr[i] < arr[i + 1])
			i++;//此时i指向右孩子

		if (temp < arr[i]) //如果要向下调整的值不如孩子大
			arr[pos] = arr[i];
		else
			break;

		//更新要向下调整的值的下标位置
		pos = i;
	}

	//向下调整完毕，此时pos的位置就是要向下调整的值的最终位置
	arr[pos] = temp;
}

2、向上调整

向上调整非常简单，只需要将插入的值的结点与其双亲结点相比较，如果比双亲大，那么就交换位置，一直重复该过程。

//向上调整为大堆顶
void AdjustUp(int* arr,int index)
{
	int pos = index;//记录向上调整的值的位置
	int temp = arr[index];//保存向上调整的值

	//遍历其双亲节点进行向上调整,如果向上调整的下标为0或比双亲小就结束
	for (int i = pos / 2; pos > 0; i /= 2)
	{
		if (temp > arr[i])
			arr[pos] = arr[i];
		else
			break;

		//更新pos的位置
		pos = i;
	}

	//向上调整完毕，此时pos位置就是向上调整的值的位置
	arr[pos] = temp;
}

（三）、将无序数组转化为大顶堆

实现方法：从最后一个叶子结点（就是数组的最后一个元素的下标的位置的结点）处的双亲结点开始，对该结点以及该结点之前的所有结点进行向下调整操作，这样就可以把无序数组转化为了大顶堆的结构。下面是将一个无序数组转化为大顶堆的示意图（标识为蓝色的值就是需要依次进行向下调整的结点。）

就这样，我们就将一个无序的数组转化为了一个具有大顶堆结构的数组了。

我们也可以从0开始遍历数组，每次执行一次向上调整，这样也可以建堆，但是其消耗比较大。因为需要对每个结点进行向上调整操作，而我们的向下调整建堆是不需要对最后一层的结点进行向下调整的，在一棵满二叉树中，最后一层的结点数就占了整棵树一半的结点数，这意味着向上调整建堆比向下调整建堆多用了很多时间。

（四）、堆排序的最终实现

我们以一个大顶堆为例，看看将大顶堆转化成一个升序的数组的过程。

来看下面这个大顶堆，是如何变升序的。

此时90排好了。

此时80就排好了。

如此往复......

具体代码：

//堆排序
void HeapSort(int* arr, int nums)
{
	//先从最后一个节点的双亲结点注逐一往前进行向下调整，将数组调整为大堆
	for (int i = (nums - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(arr,i, nums - 1);
	}

	//将最大值放置到末尾然后将其与堆的联系解除，然后再对堆顶元素向下调整
	for (int i = nums - 1; i >= 1; i--)
	{
		swap(arr[0], arr[i]);
		AdjustDown(arr, 0, i - 1);
	}
}