【Python实战因果推断】7

【Python实战因果推断】7_元学习器2

X-Learner

X-learner 在解释上要比前一个学习器复杂得多，但其实现却非常简单，所以如果你一开始不理解，也不用担心。X 学习器有两个阶段和一个倾向得分模型。第一个阶段与 T 学习器相同。首先，将样本分为治疗组和非治疗组，并为每组拟合一个模型：

$\hat{\mu}_{0}(X)\approx E[Y|T=0,X]\\\hat{\mu}_{1}(X)\approx E[Y|T=1,X]$

现在，事情开始有了转机。在第二阶段，您首先需要使用之前拟合的模型来估算缺失的潜在结果：

$\hat{\tau}(X,T=0)=\hat{\mu}_{1}(X,T=0)-Y_{T=0}\\\hat{\tau}(X,T=1)=Y_{T=1}-\hat{\mu}_{0}(X,T=1)$

在之前的示例数据中， $\hat{\tau}(X,T=0)$ 和 $\hat{\tau}(X,T=1)$ 是第二幅图中的数据点。在下图中，我再现了同样的数据，以及预测模型 ${\mu(X)}_{\tau0}$ 和 ${\mu(X)}_{\tau1}$ 。请注意，即使您有更多的控制数据， $\hat{\tau}(X,T=0)$ 还是错误的。这是因为它是使用 $\widehat{\mu_{1}}$ 建立的，而 $\widehat{\mu_{1}}$ 是在非常小的样本中拟合的。因此，由于 $\hat{\tau}(X,T=0)$ 是错误的， ${\mu(X)}_{\tau0}$ 也会产生误导。相反， ${\mu(X)}_{\tau1}$ 很可能是正确的，因为 $\hat{\tau}(X,T=1)$ 也是正确的，因为它是使用 $\widehat{\mu_{0}}$ 模型生成的：

总之，你有一个模型是错误的，因为你错误地估算了干预效果，而另一个模型是正确的，因为你正确地估算了这些值。现在，您需要一种方法将两者结合起来，使正确的模型具有更大的权重。为此，您可以使用倾向得分模型。使用该模型，您可以将两个第二阶段模型组合如下： $\widehat{\tau(x)}=\hat{\mu}(X)_{\tau0}\hat{e}(x)+\hat{\mu}(X)_{\tau1}\big(1-\hat{e}(x)\big)$

在本例中，由于处理的单位很少， $\hat{e}(x)$ 非常小，因此错误的 CATE 模型 $\hat{\mu}(X)_{\tau0}$ 的权重非常小。相反，1 - $\hat{e}(x)$ 接近 1，因此正确的 CATE 模型 $\hat{\mu}(X)_{\tau1}$ 的权重会更大。更一般地说，这种使用倾向得分的加权平均值将有利于从使用更多数据训练的 $\widehat{\mu_{t}}$ 模型中得到的干预效果估计值。

下图显示了 X 学习器给出的 CATE 估计值，以及分配给每个数据点的权重。请注意，它实际上是如何抛弃错误数据的：

可以看出，与 T-learner 相比，X-learner 在纠正非线性估计的错误 CATE 方面做得更好。一般来说，当干预组的规模远大于其他组时，X-learner 的表现会更好。

我知道这可能需要消化很多东西，但希望您在查看代码时会更清楚。下图总结了这个学习器。

你还可以试试领域适应学习器。它是 X 学习器，但使用倾向得分模型来估计 $\hat{\mu}_{t}(X)$ ，权重设置为 $1/\hat{P}(T=t)$ 。

让我们看看如何编写这些代码。这里是第一阶段，与 T-learner 完全相同。如果计划使用倾向得分进行领域适应，则需要对训练样本进行 $1/{P}(T=t)$ 的重新加权，因此现在也是拟合倾向得分的时候：

 from sklearn.linear_model import LogisticRegression
 from lightgbm import LGBMRegressor
 # propensity score model
 ps_model = LogisticRegression(penalty='none')
 ps_model.fit(train[X], train[T])
 
 # first stage models
 train_t0 = train.query(f"{T}==0")
 train_t1 = train.query(f"{T}==1")
 m0 = LGBMRegressor()
 m1 = LGBMRegressor()
 np.random.seed(123)
 m0.fit(train_t0[X], train_t0[y],
 sample_weight=1/ps_model.predict_proba(train_t0[X])[:, 0])
 m1.fit(train_t1[X], train_t1[y],
 sample_weight=1/ps_model.predict_proba(train_t1[X])[:, 1]);

接下来，您需要预测治疗效果，并对这些预测效果拟合第二阶段的模型：

 # second stage
 tau_hat_0 = m1.predict(train_t0[X]) - train_t0[y]
 tau_hat_1 = train_t1[y] - m0.predict(train_t1[X])
 m_tau_0 = LGBMRegressor()
 m_tau_1 = LGBMRegressor()
 np.random.seed(123)
 m_tau_0.fit(train_t0[X], tau_hat_0)
 m_tau_1.fit(train_t1[X], tau_hat_1);

最后，一旦你拥有了所有这些，你就可以使用倾向得分模型来结合来自第二阶段模型的预测来获得CATE。所有这些都可以在测试集上进行估计：

 # estimate the CATE
 ps_test = ps_model.predict_proba(test[X])[:, 1]
 x_cate_test = test.assign(
 cate=(ps_test*m_tau_0.predict(test[X]) +
 (1-ps_test)*m_tau_1.predict(test[X])
 )
 )

让我们看看 X-learner 在累积收益方面的表现如何。在这组数据中，干预和对照的大小几乎相同，所以不要指望会有巨大的差异。X-learner 试图纠正的问题在这里可能并不明显：

不出所料，X-learner 的性能与 T-learner 相差不大。事实上，从曲线下的面积来看，X-learner 略逊于 T-learner。请记住，这些学习器的质量取决于具体情况。就像我前面说的，在这个特定的数据中，干预和对照的样本量都足够大，因此不会遇到 X 学习器试图解决的那种问题。这或许可以解释为什么这两种模型的表现相似。

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