一、树的概念及结构

1、树的概念

// 孩子兄弟表示法
typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType data; // 结点中的数据域
};

二、二叉树的概念及结构

1、概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于 2 的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

---

2、现实生活中的二叉树

3、特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为 K，且结点总数是 2^K-1，则它就是满二叉树。

   

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。前 K 层都是满的，最后一层不一定满，但最后一层从左到右必须是连续的。深度为 K 的完全二叉树的节点个数最多为 2^K - 1，最少为 2^(K-1) - 1 + 1（前 K 层结点个数总和 +1，因为第 K 层至少有一个结点），所以节点个数范围是：[ 2K-1, 2K - 1 ]。

4、二叉树的性质 

1. 若规定根节点的层数为 1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点。
2. 若规定根节点的层数为 1，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^h-1。
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为 0 其叶结点个数为 n , 度为 2 的分支结点个数为 m ,则有 n＝ m＋1。
4. 若规定根节点的层数为 1，具有 n 个结点的满二叉树的深度，h= log(n+1). (ps：log(n+1)是 log 以 2 为底，n+1 为对数)。
5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为 i 的结点有： ​​​​​​​​​​​​​​

 

• 若 i>0，i 位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i 为根节点编号，无双亲节点。
• 若 2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n 否则无左孩子。
• 若 2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n 否则无右孩子。

5、二叉树的存储结构

typedef int BTDataType;

// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinaryTreeNode* left; // 指向当前节点左孩子
    struct BinaryTreeNode* right; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType data; // 当前节点值域
}

// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinaryTreeNode* parent; // 指向当前节点的双亲
    struct BinaryTreeNode* left; // 指向当前节点左孩子
    struct BinaryTreeNode* right; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType data; // 当前节点值域
}；