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数列极限证明大题

数列极限的证明大题的目标是，证明数列极限存在且求此极限。
核心方法是：单调有界准则，如有上界+数列单增，则可说明数列极限

1.单调有界准则

在利用单调有界准则的过程中，我们先要证明有界性，再去证明单调性。
因为，有界性有助于我们判断单调性

1.1 证有界性和单调性

有界性的证明方法一般有两种+一种简单整理：
1️⃣ 数学归纳法
2️⃣利用不等式
3️⃣通过简单的整理分子分母，就可以得到界

单调性的证明方法一般有三个方面
1️⃣给出首项，利用导数工具，证明数列单调性
2️⃣未给出首项，则构造x_n+1-x_n或x_n+1/x_n的形式，尝试分母有理化等方法，证明>0或<0
3️⃣数学归纳法

使用导数来证明数列单调性的说明：
函数的导数>0,则说明数列单调。至于单增还是单减，要通过分析x1和x2之间的关系，x1>x2，就是单减，反之是单增。
函数的导数<0，则无法说明数列单调。采用别的方法-压缩映射法。

一般来说，如果首项已知，选取f(x)作为函数求导，若未知，选取x_n+!-x_n作为求导对象。

1.2真题实战

( 1996 ) 设 x 1 = 10 ， x n + 1 = 6 + x n ( n = 1 , 2 , . . . ) ，试证数列 { x n } 极限存在，并求此极限 \left(1996\right)设x_{1} = 10，x_{n + 1} = \sqrt{6 + x_{n}}\left(n = 1,2,...\right)，试证数列\left\{x_{n}\right\}极限存在，并求此极限 (1996)设x1​=10，xn+1​=6+xn​ ​(n=1,2,...)，试证数列{xn​}极限存在，并求此极限

1.在做此类题目的第一步是预求极限，先把答案要求的极限求出来，然后就可以用来提前把握证明有界性
2.证明有界性
3.证明单调性
下结论，求极限（把预求的结果抄一遍）

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( 2002 ) 设 0 < x 1 < 3 ， x n + 1 = x n ( 3 − x n ) ( n = 1 , 2 , . . . ) ，试证数列 { x n } 极限存在，并求此极限 \left(2002\right)设0 < x_{1} < 3，x_{n + 1} = \sqrt{x_{n}\left(3 - x_{n}\right)}\left(n = 1,2,...\right)，试证数列\left\{x_{n}\right\}极限存在，并求此极限 (2002)设0<x1​<3，xn+1​=xn​(3−xn​) ​(n=1,2,...)，试证数列{xn​}极限存在，并求此极限

1.2 证明有界性中常用到的不等式

1. $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$

2. $\frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

3. $e^x\ge x+1$ (对于任意 $x$)

4. $x-1\ge \ln x$ (对于 $x>0$)

三角函数相关：

5. $\sin x<x$ (对于 $x>0$)

6. $\sin x<x<\tan x$ (对于 $0<x<\frac{\pi }{2}$)

7. 当 $0<x<\frac{\pi }{4}$ 时，$x<\tan x<\frac{4}{\pi }x$

8. 当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时，$\sin x>\frac{2}{\pi }x$