写在前面：
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路虽远，行则将至；事虽难，做则必成。只要有愚公移山的志气、滴水穿石的毅力，脚踏实地，埋头苦干，积跬步以至千里，就一定能够把宏伟目标变为美好现实。
“相似性度量（similarity measurement）”系列文章：、
【数据挖掘】机器学习中相似性度量方法-欧式距离
【数据挖掘】机器学习中相似性度量方法-余弦相似度
【数据挖掘】机器学习中相似性度量方法-曼哈顿距离
【数据挖掘】机器学习中相似性度量方法-切比雪夫距离
Hello，大家好。
继续更新"相似性度量（similarity measurement）"系列文章，今天介绍的是闵可夫斯基距离。多的不说，少的不唠，下面开始今天的教程。
以下内容，完全是我根据参考资料和个人理解撰写出来的，不存在滥用原创的问题。
闵可夫斯基距离
闵可夫斯基距离（Minkowski Distance），也称为闵氏距离，是一种在多维空间中衡量两点间距离的方法，它是对多个其他常见距离度量方法（如曼哈顿距离、欧式距离和切比雪夫距离）的一种概括和推广。闵可夫斯基距离可以将曼哈顿距离、欧式距离和切比雪夫距离总结为一个公式。
计算公式
两个向量或者两个点A( x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n x_ 1,x_ 2, x_ 3, ..., x_ n x1,x2,x3,...,xn)和B( y 1 , y 2 , y 3 , . . . , y n y_ 1,y_ 2, y_ 3,..., y_ n y1,y2,y3,...,yn)之间的闵可夫斯基距离定义公式为：
d ( A , B ) = ( ∑ i = 1 n ∣ x i − y i ∣ p ) 1 p d(A, B) = \left( \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} d(A,B)=(i=1∑n∣xi−yi∣p)p1
其中，p是一个正实数参数。
-
当p=1时，闵可夫斯基距离退化为曼哈顿距离（绝对距离、城市街区距离），即：
d ( A , B ) = ∑ i = 1 n ∣ x i − y i ∣ d(A, B) = \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i| d(A,B)=i=1∑n∣xi−yi∣ -
当p=2时，闵可夫斯基距离退化为欧几里得距离（欧氏距离），即：
d ( A , B ) = ∑ i = 1 n ( x i − y i ) 2 d(A, B) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2} d(A,B)=i=1∑n(xi−yi)2 -
当p → ∞ \to\infty →∞时，闵可夫斯基距离变为切比雪夫距离（棋盘距离），即两点在各维度上距离的最大值：
d ( A , B ) = lim p → ∞ ( ∑ i = 1 n ∣ x i − y i ∣ p ) 1 p = max ( ∣ x i − y i ∣ ) d(A, B) = \lim_{{p \to \infty}} \left( \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} = \max(|x_i - y_i|) d(A,B)=p→∞lim(i=1∑n∣xi−yi∣p)p1=max(∣xi−yi∣)
闵可夫斯基距离由于包含了多种距离度量，因此具有较广的适用范围。根据具体的应用场景和数据特性，可以选择合适的p值来定义距离。
代码实现
编写代码实现闵可夫斯基距离，下面是Python代码：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sun Jun 23 16:45:37 2024
@author: AIexplore微信公众号
"""
import numpy as np
def minkowski_distance(x, y, p=2):
"""
计算两个点之间的闵可夫斯基距离
参数:
x, y: 数组或列表，代表两个点的坐标
p: 正实数，闵可夫斯基距离的指数
返回:
d: 闵可夫斯基距离
"""
# 确保x和y是NumPy数组
x = np.array(x)
y = np.array(y)
# 检查x和y的维度是否相同
if x.shape != y.shape:
raise ValueError("输入的点必须具有相同的维度")
# 计算闵可夫斯基距离
diff = np.abs(x - y)
distance = np.sum(diff ** p) ** (1 / p)
return distance
# data
A = [1, 2, 3]
B = [2, 3, 5]
# 计算欧几里得距离 (p=2)
euclidean_distance = minkowski_distance(A, B, p=2)
print(f"欧几里得距离: {euclidean_distance}")
# 计算曼哈顿距离 (p=1)
manhattan_distance = minkowski_distance(A, B, p=1)
print(f"曼哈顿距离: {manhattan_distance}")
# 计算切比雪夫距离 (使用大的p值，例如1000，来近似)
chebyshev_distance = minkowski_distance(A, B, p=10000) # 注意：这不是严格的切比雪夫距离，近似
print(f"切比雪夫距离近似: {chebyshev_distance}")
# 计算闵可夫斯基距离 (p=3)
manhattan_distance = minkowski_distance(A, B, p=3)
print(f"闵可夫斯基距离: {manhattan_distance}")
输出结果：
欧几里得距离: 2.449489742783178
曼哈顿距离: 4.0
切比雪夫距离近似: 1.0000693171203765
闵可夫斯基距离: 2.154434690031884
参考文章
[1]https://blog.csdn.net/weixin_35757704/article/details/115437768
[2]https://mp.weixin.qq.com/s/g1-U59Xo7ScjscyrL61Ujw
[3]https://cloud.tencent.com/developer/article/2281505
[4]https://blog.csdn.net/qq_21484461/article/details/125357968
写在最后
作者介绍：CSDN人工智能领域优质创作者，CSDN博客专家，阿里云专家博主，阿里云技术博主，有机器学习、深度学习、OCR识别项目4年以上工作经验，专注于人工智能技术领域。会根据实际项目不定期输出一些非商业的技术，内容不限，欢迎各位朋友关注。
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