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前言

傅里叶级数在工科的领域十分常见，在学习微积分时介绍了傅里叶级数的概念，在信号与系统中傅里叶级数也常常被提及，但是他们每次引入的形式和推导都是使用不同的形式，对此小结一下

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一、三角函数分解形式

我最先接触的是微积分中的三角表达式：

其中 an 和 bn 的计算公式为：

推导：

1.正交性：

2.系数求解：

1.A0

因为 cos(nwpi) 和 sin(nwpi) 的周期都是 2*pi 的公因数（n>=1,而且是整数），所以在-pi—pi上面积分就是 A0，也叫零频分量（后面会讲到）

2.an，bn

根据正交性只需要乘以相应的 cos(kwt) 或者 sin(kwt)，就可以算出想要的因子


最后求得：

二、指数形式

指数表达中只用一个式子表达 x(t)：

其中 Cn 为：（就是选一个周期对原函数积分得到）

1.推导

根据欧拉公式有：

带入刚刚三角表达中：

假设

得到：

与三角形式的对应关系：

1. C0 <=> a0
   可以看到，如果 Cn 的 n=0 时，结果正好为
   
   等于
   

2. Cn <=> an-jbn (n>0)

3. Cn <=> an+jbn (n<0)

2.信号与系统中的概念

指数形式在信号与系统中有特别的含义

这里的 ak 和上面的 Cn 一样

1.|Cn|是第n次谐波的幅度

Cn 的大小对应于信号的频谱幅值，也就是说傅里叶变换相当于将信号转换到了频域，

2.φn是第n次谐波的相位

也就是上面的 ∠ak ，代表了频域的相位信息

3.谐波分量

1. 当 n=k=0 时，级数只有一个分量为 a0=c0，这里称为“DC分量”，也叫“零频分量”
2. 当 n=k=±1，此时称为基波
3. 当n=k=±n，此时称为 n 次谐波

关于谐波：
维基百科的解释：
常数表达的部分称为直流分量，最小正周期等于原函数的周期的部分称为基波或一次谐波，最小正周期的若干倍等于原函数的周期的部分称为高次谐波。

百度百科的解释：
对周期性交流量进行傅里叶级数分解，得到频率为基波频率大于1整数倍的分量。
谐波是指对周期性非正弦交流量进行傅里叶级数分解所得到的大于基波频率整数倍的各次分量，通常称为高次谐波，而基波是指其频率与工频(50Hz)相同的分量。

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文章来源

详细解答参考：

https://www.cnblogs.com/yutian-blogs/p/15333040.html
https://zhuanlan.zhihu.com/p/41455378
https://zhuanlan.zhihu.com/p/41875010