《算法竞赛·快冲300题》每日一题：“房间划分”

《算法竞赛·快冲300题》将于2024年出版，是《算法竞赛》的辅助练习册。
所有题目放在自建的OJ New Online Judge。
用C/C++、Java、Python三种语言给出代码，以中低档题为主，适合入门、进阶。

文章目录

题目描述
题解
C++代码
Java代码
Python代码

“ 房间划分” ，链接： http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1830

题目描述

【题目描述】 给定一个凸多边形房间，现在需要将房间划分成等面积的两部分。
房间只有一个门，可以视为一个顶点，需要沿着直线将房间划分成两部分。
直线的一端必须是门，另一端必须是墙角或者墙壁。
如下图所示，最终需要求解出直线另一端点的坐标。
在这里插入图片描述

【输入格式】 第一行为正整数n，表示凸多边形的顶点数量，3≤n≤200000。
接下来n行。每行两个整数x和y表示顶点坐标， $10^7≤x,y≤10^7$ 。
输入保证顶点是按照逆时针的顺序进行输入，没有重复的两个点，且第一个点视为门。
【输出格式】 输出另一端点的坐标x和y，以一个空格分隔。
输出的每个数字的绝对误差小于 $10^{-6}$ 均视为正确。
【输入样例】

【输出样例】

3.5 4

题解

求面积是叉积的经典应用。
以门为起点，与其他所有顶点连线，把多边形分成多个三角形。对每个三角形求面积，所有三角形面积之和是多边形的面积。然后找到平分总面积的直线所在的那个三角形，直线的终点在这个三角形边上。。
【重点】 叉积，几何模板的掌握。

C++代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
struct Point{
    double x, y;
    Point(){}
    Point(double x, double y):x(x), y(y){}
    Point operator + (Point b) { return Point(x+b.x,y+b.y); }
    Point operator - (Point b) { return Point(x-b.x,y-b.y); }
    Point operator * (double k) { return Point(k*x,k*y); }
}p[N];
typedef Point Vector;
double Cross(Vector A, Vector B){return A.x*B.y - A.y*B.x;}//叉积
double Area(Point A, Point B, Point C){return 0.5 * Cross(B-A, C-A);}//三角形面积
int main(){
    int n; scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)  scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
    double s = 0;      //多边形面积
    for(int i = 2; i <= n - 1; i++)
        s += Area(p[1], p[i], p[i + 1]);
    s *= 0.5;          //总面积的一半
    double a = 0;      //重新开始累加三角形面积
    for(int i = 2; i <= n - 1; i++) {
        double b = a + Area(p[1], p[i], p[i + 1]);   //b比a多一个三角形
        if(a <= s && b >= s){                     //找到平分总面积的三角形
            double t = (s - a) / (b - a);         //比例
            Point delta = (p[i + 1] - p[i]) * t;  //两点中间等比例处是答案
            Point ans = p[i] + delta;
            printf("%.9f %.9f\n", ans.x, ans.y);
            break;
        }
        a = b;
    }
    return 0;
}

Java代码

import java.util.Scanner;
public class Main {
   static int N = 200010;
   static class Point {
       double x, y;
       Point() {}
       Point(double x, double y) { this.x = x; this.y = y; }
       Point add(Point b) { return new Point(x + b.x, y + b.y);  }
       Point subtract(Point b) { return new Point(x - b.x, y - b.y); }
       Point multiply(double k) {return new Point(k * x, k * y); }
   }
   static double cross(Point A, Point B) {return A.x * B.y - A.y * B.x;}
   static double area(Point A, Point B, Point C) {return 0.5 * cross(B.subtract(A), C.subtract(A));}
   public static void main(String[] args) {
       Scanner scan = new Scanner(System.in);
       int n = scan.nextInt();
       Point[] p = new Point[N];
       for (int i = 1; i <= n; i++) 
           p[i] = new Point(scan.nextDouble(), scan.nextDouble());
       double s = 0;
       for (int i = 2; i <= n - 1; i++) 
           s += area(p[1], p[i], p[i + 1]);
       s *= 0.5;
       double a = 0;
       for (int i = 2; i <= n - 1; i++) {
           double b = a + area(p[1], p[i], p[i + 1]);
           if (a <= s && b >= s) {
               double t = (s - a) / (b - a);
               Point delta = p[i + 1].subtract(p[i]).multiply(t);
               Point ans = p[i].add(delta);
               System.out.printf("%.9f %.9f\n", ans.x, ans.y);
               break;
           }
           a = b;
       }
       scan.close();
   }
}

Python代码

N = 200010
class Point:
    def __init__(self, x=0, y=0): self.x = x;  self.y = y
    def __add__(self, B): return Point(self.x + B.x, self.y + B.y)
    def __sub__(self, B): return Point(self.x - B.x, self.y - B.y)
    def __mul__(self, k): return Point(self.x * k, self.y * k)
def cross(A, B):   return A.x * B.y - A.y * B.x
def area(A, B, C): return 0.5 * cross(B - A, C - A)
n = int(input())
p = [None] * (N)
for i in range(1, n + 1):
    x, y = map(float, input().split())
    p[i] = Point(x, y)
s = 0
for i in range(2, n): s += area(p[1], p[i], p[i + 1])
s *= 0.5
a = 0
for i in range(2, n):
    b = a + area(p[1], p[i], p[i + 1])
    if a <= s and b >= s:
        t = (s - a) / (b - a)
        delta = (p[i + 1] - p[i]) * t
        ans = p[i] + delta
        print("%.9f %.9f" % (ans.x, ans.y))
        break
    a = b