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📜欧拉法 | 本文 - 用例

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🍇Python欧拉法

令 $\frac{dS(t)}{dt}=F(t,S(t))$ 为显式定义的一阶常微分方程。也就是说，$F$ 是一个函数，它返回给定时间和状态值的状态的导数或变化。另外，令 $t$ 为区间 $\left[t_0,t_f\right]$ 的数字网格，间距为 $h$。不失一般性，我们假设 $t_0=0$，并且对于某个正整数 $N$，$t_f=Nh$。

$S(t)$ 在 $t_j$ 附近的线性近似为
$$S\left(t_{j+1}\right)=S\left(t_j\right)+\left(t_{j+1}-t_j\right)\frac{dS\left(t_j\right)}{dt}$$
还可以写为：
$$S\left(t_{j+1}\right)=S\left(t_j\right)+hF\left(t_j,S\left(t_j\right)\right)$$
这个公式称为显式欧拉公式，它允许我们在给定 $S\left(t_j\right)$ 状态的情况下计算 $S\left(t_{j+1}\right)$ 状态的近似值。从给定的初始值$S_0=S\left(t_0\right)$开始，我们可以使用这个公式对状态进行积分直到$S\left(t_f\right)$；这些 $S(t)$ 值是微分方程解的近似值。显式欧拉公式是解决初值问题最简单、最直观的方法。在任何状态$\left(t_j,S\left(t_j\right)\right)$，它在该状态下使用$F$“指向”下一个状态，然后朝该方向移动$h$的距离。尽管有更复杂和更准确的方法来解决这些问题，但它们都具有相同的基本结构。因此，我们明确列举了使用显式欧拉公式解决初始值问题的步骤。

假设我们有一个函数 $F(t,S(t))$ 计算 $\frac{dS(t)}{dt}$，一个数值网格 $t$，区间 $\left[t_0,t_f\right]$，初始状态值$S_0=S\left(t_0\right)$。我们可以使用以下步骤计算 $t$ 中每个 $t_j$ 的 $S\left(t_j\right)$。

• 将 $S_0=S\left(t_0\right)$ 存储在数组 $S$ 中。
• 计算$S\left(t_1\right)=S_0+hF\left(t_0,S_0\right)$
• 将 $S_1=S\left(t_1\right)$ 存储在 $S$ 中
• 计算$S\left(t_2\right)=S_1+hF\left(t_1,S_1\right)$
• 将 $S_2=S\left(t_1\right)$ 存储在 $S$​ 中。
• …
• 计算$S\left(t_f\right)=S_{f-1}+hF\left(t_{f-1},S_{f-1}\right)$
• 将 $S_f=S\left(t_f\right)$ 存储在 $S$ 中
• $S$ 是初始值问题的近似解

当使用具有这种结构的方法时，我们称该方法集成了常微分方程的解。

初始条件为$f_0=-1$的微分方程$\frac{df(t)}{dt}=e^{-t}$有精确解$f(t)=-e^{-t}$ 。使用显式欧拉公式，以 0.1 为增量，在 0 和 1 之间近似求解此初始值问题。绘制近似解和精确解之间的差异。

代码处理：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use('seaborn-poster')
%matplotlib inline


f = lambda t, s: np.exp(-t) 
h = 0.1 
t = np.arange(0, 1 + h, h) 
s0 = -1 

s = np.zeros(len(t))
s[0] = s0

for i in range(0, len(t) - 1):
    s[i + 1] = s[i] + h*f(t[i], s[i])

plt.figure(figsize = (12, 8))
plt.plot(t, s, 'bo--', label='Approximate')
plt.plot(t, -np.exp(-t), 'g', label='Exact')
plt.title('Approximate and Exact Solution \
for Simple ODE')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('f(t)')
plt.grid()
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

在上图中，我们可以看到每个点都是基于前一个点以线性方式进行的近似。从初始值，我们最终可以得到数值网格上解的近似值。如果我们对 $h=0.01$ 重复该过程，我们会得到更好的近似解：

h = 0.01 
t = np.arange(0, 1 + h, h) 
s0 = -1 

s = np.zeros(len(t))
s[0] = s0

for i in range(0, len(t) - 1):
    s[i + 1] = s[i] + h*f(t[i], s[i])

plt.figure(figsize = (12, 8))
plt.plot(t, s, 'b--', label='Approximate')
plt.plot(t, -np.exp(-t), 'g', label='Exact')
plt.title('Approximate and Exact Solution \
for Simple ODE')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('f(t)')
plt.grid()
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

显式欧拉公式之所以被称为“显式”，是因为它只需要 $t_j$ 处的信息来计算 $t_{j+1}$ 处的状态。也就是说， $S\left(t_{j+1}\right)$ 可以根据我们拥有的值（即 $t_j$ 和 $S\left(t_j\right)$ ）显式地编写。隐式欧拉公式可以通过在 $t_{j+1}$ 周围取 $S(t)$ 的线性近似并在 $t_j$ 处计算来导出：
$$S\left(t_{j+1}\right)=S\left(t_j\right)+hF\left(t_{j+1},S\left(t_{j+1}\right)\right)$$
这个公式很奇特，因为它要求我们知道 $S\left(t_{j+1}\right)$ 才能计算 $S\left(t_{j+1}\right)$！不过，有时候我们可以用这个公式来近似求解初值问题。在详细介绍如何使用隐式欧拉公式解决这些问题之前，我们先给出另一个隐式公式，称为梯形公式，它是显式和隐式欧拉公式的平均值：
$$S\left(t_{j+1}\right)=S\left(t_j\right)+\frac{h}{2}\left(F\left(t_j,S\left(t_j\right)\right)+F\left(t_{j+1},S\left(t_{j+1}\right)\right)\right)$$
为了说明如何求解这些隐式解，请再次考虑已简化为一阶的摆方程。

👉参阅一：计算思维

👉参阅二：亚图跨际