1.素数的定义

• 素数又称质数。
• 质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
• 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。

2.问题引入:如何在数据规模较大的情况下高效的求解？

3.朴素解法

// 找出小于n的所有素数的方法
    public static List<Integer> findPrimes(int n) {
        List<Integer> primes = new ArrayList<>();

        for (int num = 2; num < n; num++) {
            if (isPrime(num)) {
                primes.add(num);
            }
        }

        return primes;
    }

    // 判断一个数是否为素数的方法
    private static boolean isPrime(int num) {
        if (num <= 1) {
            return false;
        }
        //注意这里只需要遍li到根号num即可
        //
        for (int i = 2; i * i <= num; i++) {
            if (num % i == 0) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

在数据规模较大的情况下，这种暴力解法效率低下，是不可取的。

4.Sieve of Eratosthenes（埃拉托斯特尼筛法）

The sieve of Eratosthenes is one of the most efficient ways to find all primes smaller than n when n is smaller than 10 million or so.
埃拉托色尼筛法是找到小于n的所有质数的最有效方法之一当n小于1000万左右时。

When the algorithm terminates, all the numbers in the list that are not marked are prime.

当算法结束时，列表中所有未标记的数字都是素数。

代码实现：

Java：

// Java程序，使用埃拉托斯特尼筛法打印小于或等于n的所有素数

class SieveOfEratosthenes {
    void sieveOfEratosthenes(int n)
    {
        // 创建一个布尔数组 "prime[0..n]" 并将所有条目初始化为true。
        // 如果prime[i]最终为false，则i不是素数，否则为true。
        boolean prime[] = new boolean[n + 1];
        for (int i = 0; i <= n; i++)
            prime[i] = true;
 
        // 使用埃拉托斯特尼筛法
        for (int p = 2; p * p <= n; p++) {
            // 如果prime[p]仍然为true，则p是素数
            if (prime[p] == true) {
                // 更新所有p的倍数，这些倍数大于或等于p的平方，
                // 且小于等于n的数已经被标记过了
                for (int i = p * p; i <= n; i += p)
                    prime[i] = false;
            }
        }
 
        // 打印所有素数
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            if (prime[i] == true)
                System.out.print(i + " ");
        }
    }
 
    // 主函数
    public static void main(String args[])
    {
        int n = 30;
        System.out.print("以下是小于或等于 " + n + " 的素数: ");
        SieveOfEratosthenes g = new SieveOfEratosthenes();
        g.sieveOfEratosthenes(n);
    }
}

C++：

// 使用埃拉托斯特尼筛法打印小于或等于n的所有素数的C++程序

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
void SieveOfEratosthenes(int n)
{
    // 创建一个布尔数组 "prime[0..n]" 并将所有条目初始化为true。
    // 如果prime[i]最终为false，则i不是素数，否则为true。
    bool prime[n + 1];
    memset(prime, true, sizeof(prime));
 
    for (int p = 2; p * p <= n; p++) {
        // 如果prime[p]仍然为true，则p是素数
        if (prime[p] == true) {
            // 更新所有p的倍数，这些倍数大于或等于p的平方，
            // 且小于等于n的数已经被标记过了
            for (int i = p * p; i <= n; i += p)
                prime[i] = false;
        }
    }
 
    // 打印所有素数
    for (int p = 2; p <= n; p++)
        if (prime[p])
            cout << p << " ";
}
 
// 主函数
int main()
{
    int n = 30;
    cout << "以下是小于或等于 " << n << " 的所有素数：" << endl;
    SieveOfEratosthenes(n);
    return 0;
}

Python：

# 使用埃拉托斯特尼筛法打印小于或等于n的所有素数的Python程序

def SieveOfEratosthenes(n):
    # 创建一个布尔数组 "prime[0..n]" 并将所有元素初始化为True。
    # 如果prime[i]最终为False，则i不是素数，否则为True。
    prime = [True for i in range(n+1)]
    p = 2
    while (p * p <= n):

        # 如果prime[p]仍然为True，则p是素数
        if (prime[p] == True):

            # 更新所有p的倍数
            for i in range(p * p, n+1, p):
                prime[i] = False
        p += 1

    # 打印所有素数
    for p in range(2, n+1):
        if prime[p]:
            print(p)

# 主函数
if __name__ == '__main__':
    n = 20
    print("以下是小于或等于 {} 的素数：".format(n))
    SieveOfEratosthenes(n)

为什么埃拉托斯特尼筛法只需要从每个素数的平方开始标记？

• 因为小于 (p^2) 的数，如果它们是合数，已经被之前的素数标记过了。
• 这样做可以确保每个合数只被标记一次，提高算法的效率。

示例：

1. 初始化： 创建一个布尔数组 is_prime，长度为 n+1，其中 n 是我们要找出的最大素数的范围。数组中的每个元素都初始化为 True，表示该索引对应的数是素数。

   对于找出小于或等于 30 的所有素数，创建长度为 31 的数组。

   is_prime = [True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True]
   

2. 筛选过程： 开始从第一个素数 2 开始筛选。

   • 素数 2 是第一个素数，我们从 (2^2 = 4) 开始，将所有大于等于 4 的偶数标记为 False，因为它们都可以被 2 整除。具体操作是将数组中索引为 4、6、8、10、12、… 的位置置为 False。

     is_prime = [True, True, True, True, False, True, False, True, False, True, False, True, False, True, False, True, False, True, False, True, False, True, False, True, False, True, False, True, False, True, False]
     

   • 接下来，选择下一个未被标记为 False 的数，即素数 3，因为小于 (3的平方) 的数，如果它们是合数，已经被之前的素数标记过了，所以直接从 (3^2 = 9) 开始，标记所有大于等于 9 的数中可以被 3 整除的数为 False。

     is_prime = [True, True, True, True, False, True, False, True, False, False, False, True, False, True, False, False, False, True, False, True, False, False, False, True, False, False, False, True, False, True, False]
     

   • 继续这个过程，选择下一个未被标记为 False 的数，即素数 5，从 (5^2 = 25) 开始，标记所有大于等于 25 的数中可以被 5 整除的数为 False。

     is_prime = [True, True, True, True, False, True, False, True, False, False, False, True, False, True, False, False, False, True, False, True, False, False, False, True, False, False, False, True, False, True, False]
     

3. 提取素数： 最终，所有仍为 True 的索引位置（除了 0 和 1）表示素数。素数是 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。

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