支持向量机 (SVM) 算法详解

支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种监督学习模型，广泛应用于分类和回归分析。SVM 特别适合高维数据，并且在处理复杂非线性数据时表现出色。本文将详细讲解 SVM 的原理、数学公式、应用场景及其在 Python 中的实现。

什么是支持向量机？

支持向量机的目标是找到一个最佳的决策边界（或称超平面）来最大限度地分隔不同类别的数据点。对于线性可分的数据，SVM 通过一个线性超平面进行分类；对于线性不可分的数据，SVM 可以通过核方法（Kernel Trick）将数据映射到高维空间，使其在高维空间中线性可分。

SVM 的基本原理

线性支持向量机

对于线性可分的数据，SVM 寻找一个超平面将数据集分隔成两个类别，同时最大化两个类别之间的边界（margin）。边界上的点称为支持向量（Support Vectors）。

数学公式

假设我们有一个训练数据集 ${(x_i, y_i)}_{i=1}^n$ , 其中 $\ x_i \in \mathbb{R}^d$ 表示第 $\ i$ 个样本， $\ y_i \in \{-1, 1\}$ ,表示第 (i) 个样本的类别标签。

超平面的方程可以表示为：
$\ w \cdot x + b = 0 \$
其中 $\ w$ 是法向量，决定了超平面的方向， $\ b$ 是偏置项，决定了超平面的距离。

目标是找到 $\ w$ 和 $\ b$ ，使得所有样本点满足：
$\ y_i (w \cdot x_i + b) \geq 1 \$
同时，我们希望最大化边界，即最小化 (|w|)，所以优化问题可以表示为：
$\ \min_{w,b} \frac{1}{2} \|w\|^2 \$
约束条件为：
$\ y_i (w \cdot x_i + b) \geq 1, \forall i$

非线性支持向量机

对于线性不可分的数据，SVM 通过引入核函数（Kernel Function）将数据映射到高维空间，使其在高维空间中线性可分。常用的核函数包括：

多项式核（Polynomial Kernel）
径向基函数核（Radial Basis Function, RBF Kernel）
高斯核（Gaussian Kernel）

核函数的表示为 $\ K(x_i, x_j) = \phi(x_i) \cdot \phi(x_j)$ ，其中 (\phi) 是将数据映射到高维空间的映射函数。

松弛变量

为了处理噪声和异常值，SVM 引入了松弛变量 $\xi_i$ ，使得优化问题变为：
$\ \min_{w,b,\xi} \frac{1}{2} \|w\|^2 + C \sum_{i=1}^n \xi_i$
约束条件为：
$\ y_i (w \cdot x_i + b) \geq 1 - \xi_i, \forall i \ \xi_i \geq 0, \forall i$

其中 $\ C$ 是惩罚参数，控制软间隔的宽度。

SVM 的优缺点

优点

有效处理高维数据：SVM 在高维空间中依然表现良好。
适合复杂非线性数据：通过核方法，SVM 能有效处理非线性数据。
鲁棒性强：SVM 对于部分噪声和异常值具有较强的鲁棒性。

缺点

计算复杂度高：尤其在大规模数据集上，训练时间较长。
参数选择敏感：核函数、惩罚参数 $\ C$ 等需要仔细调优。
结果不可解释性：相比于决策树等模型，SVM 的结果较难解释。

SVM 的 Python 实现

下面通过 Python 代码实现 SVM 算法，并以一个示例数据集展示其应用。

导入库

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.metrics import classification_report, confusion_matrix

生成示例数据集

# 生成示例数据集
X, y = datasets.make_classification(n_samples=100, n_features=2, n_informative=2, n_redundant=0, n_clusters_per_class=1, random_state=42)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, s=50, cmap='bwr')
plt.title('原始数据集')
plt.show()

在这里插入图片描述

应用 SVM 算法

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

# 应用 SVM 算法
svm = SVC(kernel='linear', C=1.0)
svm.fit(X_train, y_train)
y_pred = svm.predict(X_test)

# 评估模型
print(confusion_matrix(y_test, y_pred))
print(classification_report(y_test, y_pred))

# 可视化决策边界
def plot_decision_boundary(X, y, model):
    h = .02
    x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
    y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h), np.arange(y_min, y_max, h))
    Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
    Z = Z.reshape(xx.shape)
    plt.contourf(xx, yy, Z, cmap='bwr', alpha=0.8)
    plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, s=50, cmap='bwr')
    plt.title('SVM 决策边界')
    plt.show()

plot_decision_boundary(X_test, y_test, svm)