什么是图

图是常见的抽象模型，由点和连接点的边(edge)组成。图是点和边构成的网。图描述了事物之间的连接。图最典型的应用场景是地图，地图由地点和道路组成，它的特征如下。

1. 地点：可能是十字路口，也可能是三岔路口，或者仅仅是一个连接点。在图论中，把地点抽象为点。
2. 道路：可能是单行道或双行道。抽象成有向边或无向边。
3. 道路有过路费：抽象成边的权值。
4. 求两点间的最短道路，即图论里的最短路径算法。
5. 在城市群之间如何修最短的连通道路，即图论中的最小生成树问题。地图的这些问题都是图论研究的对象。计算机网络也是典型的图问题，和地图非常相似。
   树是一种特殊的图。树的结点从根开始，层层扩展子树，是一种层次关系，这种层次关系保证了树上的结点不会出现环路。在图的算法中，经常需要在图上生成一棵树，再进行操作。

图的分类

根据边有无方向、有无权值、有无环路，可以把图分成很多种，例如：

1. 无向无权图：边没有权值、没有方向；
2. 有向无权图：边有方向、无权值；
3. 加权无向图：边有权值，但没有方向；
4. 加权有向图：边有权值，也有方向
5. 有向无环图$(DAG)$。

图算法的复杂度

图算法的复杂度显然和边的数量$E$、点的数量$V$相关。如果一个算法的复杂度是线性时间$O(V+E)$，这几乎是图问题中能达到的最好程度了。如果能达到$O_{(Vlo{g}_{2}E)}$、$O(Elo{g}_{2}V)$或类似的复杂度，则是很好的算法。如果是$O(V^2)$、$O(E^2)$或更高，在图问题中不算是好的算法。

图的模拟

怎么储存一个图

对图的任何操作都需要基于一个存储好的图。图的存储结构必须是一种有序的存储，能让程序很快定位结点 $u$ 和 $v$ 的边 $(u,v)$，最好能在$O(1)$的时间内只用一次或几次就定位到。
一般用3种数据结构存储图:

1. 即邻接矩阵
2. 邻接表
3. 链式前向星
   以如下的有向图为例
   

邻接矩阵：

邻接矩阵的定义方式

用二维数组存储即可：$intgraph[N][N]$，每个节点 $graph[i][j]$ 表示从 $i$ 到 $j$ 的距离。
对于无向图有：$graph[i][j]=graph[j][i]$。
对于有向图有：$graph[i][i]!=graph[j][i]$。
权值：如图则有：$graph[1][2]=3、graph[2][1]=5\dots \dots$；用$graph[i][j]=+\infty$表示 $i$ 和 $j$ 之间无边。

优劣分析

优点：

1. 编码非常简短。
2. 适用于稠密图。
3. 对边的存储、查询、更新等操作又快又简单，只需要一步就能访问和修改。
   缺点：
4. 存储复杂度$O(V^2)$太高。如果用来存稀疏图，大量空间会被浪费。例如上面的图，$6$个点，只有$11$条边，但是$graph[6][6]$的空间是$36$。当$V=10000$个结点时，空间为$100MB$，已经超过了常见竞赛题的空间限制，而一百万个点的图在竞赛题中是很常见的。
5. 一般情况下不能存储重边。$(u,v)$ 之间可能有两条或更多的边，这些边的费用不同、容量不同，是不能合并的。有向边$(u,v)$在矩阵中只能存储一个参数，矩阵本身的局限性使它不能存储重边。

邻接表

邻接表是一种常用的图的存储方式，它可以用链表表示图的结构。在邻接表中，每个节点都对应一个链表，链表中存储了与该节点相连的所有节点。规模大的稀疏图一般用邻接表存储。

优劣分析

有点：

1. 存储效率非常高，只需要与边数成正比的空间，存储复杂度为$O(V+E)$。
2. 能存储重边。
   缺点：
3. 编程比邻接矩阵麻烦。
4. 访问和修改效率稍低稍慢。

实现代码

vector<int>G[N]; //邻接表  
void init(){ //初始化  
	for(int i = 0; i < N; i++)  
		G[i].clear();  
}  
void addEdge(int x, int y){ //插入路径：x -> y  
	G[x].push_back(y);  
}

对于上图所成的邻接表如下：

$i=1$	2	4
$i=2$	1	3	4	5
$i=3$	$null$
$i=4$	1	5
$i=5$	2	6
$i=6$	3

链式前向星

用邻接表存图非常节省空间，一般的大图也够用了。那如果空间极其紧张，有没有更紧凑的存图方法呢？邻接表有没有改进的空间？

分析邻接表的组成：存储一个结点 $u$ 的邻接边，其方法的关键是先定位第$1$个边，第$1$个边再指向第$2$个边，第$2$个边再指向第$3$个边……根据这个分析，可以设计一种极为紧凑、没有任何空间浪费、编码非常简单的存图方法。下图是对前面的图生成的存储空间，其中，$head[NUM]$是一个静态数组，$structedge$是一个结构的静态数组，至少包含 $to和next$ 两项元素。

以结点$2$为例:
从点$2$出发的边有$4$条，即$(2,1)$、$(2,3)$、$(2,4)$、$(2,5)$,邻居是$1、3、4、5$。

1. 定位第$1$个边。用$head[]$数组实现，例如$head[2]$指向结点$2$的第$1$个边，$head[2]=8$，它存储在$edge[8]$这个位置。
2. 定位其他边。用$edge$的$next$参数指向下一个边。$edge[8].next=6$，下一个边在$edge[6]$这个位置，然后$edge[6].next=4$，$edge[4].next=1$，最后$edge[1].next=—1$，-1表示结束。

$structedge$的$to$参数记录这个边的邻居结点。例如$edge[8].to=5$，第一个邻居是点$5$；然后$edge[6].to=4$，$edge[4].to=3$，$edge[1].to=1$，得到邻居是$1、3、4、5$。
上述存储方法被称为“链式前向星”，它是空间效率最高的存储方法，因为它用静态数组模拟邻接表，没有任何浪费。

实现代码

const long long N = 1e7 + 6;    //百万节点百万边
struct Edge{
    int next, to, w;    //终点to，下一条边next，权值w
};
Edge edge[N];
int head[N];    //head[i]表示指向i节点的第一条边的位置
int cnt = 0;    //cnt记录的是edge的末尾，新加入的位置都在末尾
void init(){
    cnt = 0;
    for(int i = 0; i < N; i++){
        edge[i].next = -1;
        head[i] = -1;
    }
}
void addEdge(int u, int v, int w){
    //添加u到v边，权值为w
    edge[cnt].to = v;
    edge[cnt].w = w;
    edge[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt;
    cnt++;
}

for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next){
    //遍历i的所有邻居
}

优劣分析

优点：

1. 存储效率高
2. 程序简单
3. 能存储重边
   缺点：
4. 不方便做删除操作。可尝试自己编写删除的程序

图的遍历

图的遍历与之前提过的树遍历类似。但是用DFS(递归)来搜索图，比BFS更难理解，但是一旦理解之后，编程将十分便利。图论中的很多算法，例如拓扑排序、强连通分量等，都建立在DFS之上。
下面是DFS的示例程序，其中用vector邻接表来存图。

vector<int>G[N];    //G[i][j]表示点i和点j之间的距离
int vis[N];    //vis = 0 表示这个点没有被访问过
               //vis = 1 表示访问过了
               //vis = -1 表示正在被访问中（拓扑排序跳出死循环可用）
bool dfs(int u){
    vis[u] = 1;
    if(……){……;return true;}     //出现目标，返回正确
    if(……){……;return false;}    //处理并返回错误
    for(int i = 0; i < G[u].size(); i++){//u的邻居有G[u].size个
        int v = G[u][i];        //v是第i个邻居
        if(!vis[v]){            //没有访问过就从这里继续
            return dfs(v);
        }
    }
    {……………………}      //后续处理
}   

某个点的连通性

对需要的点执行$dfs$,就能找到它连通的点。例如找图中 $e$ 点的连通性，执行$dfs(e)$，访问过程见图结点上面的数字，顺序是$e\to b\to d\to c\to a$。递归返回的结果见结点下面画线的数字，顺序是$a\to c\to d\to b\to e$。虚线指向的结点表示不再访问，因为前面已经被访问过。

上面DFS的结果生成了一棵树，称为深搜优先生成树($depth-firstspanningtree$),有以下概念：

1. 树边：树上的边称为树边$(treeedge)$。
2. 回退边：虚线表示的边$(a,b)$称为回退边$(backedge)$,它不在树上。
3. 在这棵树上，从起点到其他任何一个点只有一条路径。如果是无向图生成的树，那么任意两个点之间只有一条路径。

拓扑排序

图的$BFS$和$DFS$的一个直接应用是拓扑排序。
在现实生活中，人们经常要做一连串事情，这些事情之间有顺序关系或者有依赖关系，在做一件事情之前必须先做另一件事，比如安排客人的座位、穿衣服的先后、课程学习的先后等。这些事情都可以抽象为图论中的拓扑排序。

1.拓扑排序的概念

设有$a、b、c、d$等事情，其中 $a$ 有最高优先级，$b、c$ 优先级相同，$d$ 是最低优先级，表示为$a\to (b,c)\to d$,那么 $abcd$ 或 $acbd$ 都是可行的排序。把事情看成图的点，把先后关系看成有向边，问题转化为在图中求一个有先后关系的排序，这就是拓扑排序。如下图左所示。
显然，一个图能进行拓扑排序的充要条件是它是一个有向无环图($DAG$)。有环图不能进行拓扑排序。

2.图的入度和出度

拓扑排序需要用到点的入度和出度的概念。

1. 出度：以点 $u$ 为起点的边的数量称为 $u$ 的出度。
2. 入度：以点 $v$ 为终点的边的数量称为 $v$ 的入度。
   一个点的入度和出度体现了这个点的先后关系：如果一个点的入度等于$0$，则说明它是起点，是排在最前面的；如果它的出度等于$0$，则说明它是排在最后面的。例如在上图右中，点$a、c$的入度为$0$，它们都是优先级最高的事情；$d$ 的出度为$0$，它的优先级最低。
   拓扑排序可以有多个，例如上图右中的a和c，谁排在前面都可以：$[a,c,b,d]或[c,a,b,d]$都是合理的。$DFS$和$BFS$都可以实现拓扑排序

3.基于$BFS$的拓扑排序

基于$BFS$的拓扑排序有两种思路：1. 无前驱的顶点优先、2. 后继的顶点优先。
下面先讲解无前驱的顶点优先拓扑排序。其方法是先输出出度为 $0$ (无前驱，优先级最高)点，具体操作如下图所示，其中 $Q$ 是$BFS$的队列：

步骤简述如下：

1. 找到所有入度为 $0$ 的点，放进队列，作为起点，这些点谁先谁后没有关系。如果找不到入度为$0$的点，说明这个图不是$DAG$，不存在拓扑排序。上图1中$a、c$的入度为$0$，进队列。
2. 弹出队首 $a$，$a$的所有邻居点，入度减$1$，把入度减为 $0$ 的邻居点 $b$ 放进队列，没有减为 $0$的点不能放进队列。如上图2。
3. 继续上述操作，直到队列为空。内容见上图后续。队列输出$acbd$，而且包含了所有的点，这就是一个拓扑排序。
4. 如果队列已空，但是还有点未进入队列，那么这些点的入度都不是$0$，说明图不是$DAG$,不存在拓扑排序。

以上是“无前驱”的思路。读者很容易发现，这个过程可以反过来执行，即“无后继的顶点优先”:从出度为$0$(无后继，优先级最低)的点开始，逐步倒推。其示意图如下所示，请读者自己分析过程。最后输出的是逆序$[d,b,c,a]$。

复杂度分析

在初始化时，查找入度为$0$的点，需要检查每个边，复杂度为$O(E)$；在队列操作中，每个点进出队列一次，需要检查它直接连接的所有邻居，复杂度是$O(V+E)$。其总复杂度是$O(V+E)$

4.基于$DFS$搜索的拓扑排序

$DFS$天然适合拓扑排序。
回顾$DFS$深度搜索的原理：沿着一条路径一直搜索到最底层，然后逐层回退。这个过程正好体现了点和点的先后关系，天然符合拓扑排序的原理。
一个有向无环$DAG$图，如果只有一个点$u$是$0$入度的，那么从$u$开始$DFS$，$DFS$递归返回的顺序就是拓扑排序(是一个逆序)。$DFS$递归返回的首先是最底层的点，它一定是$0$出度点，没有后续点，是拓扑排序的最后一个点；然后逐步回退，最后输出的是起点$u$；输出的顺序是一个逆序。

以上图为例，从 $a$ 开始，递归返回的顺序见点旁边画线的数字，即$[c,d,b,a]$,是拓扑排序的逆序。为了按正确的顺序打印出拓扑排序，编程时的处理是定义一个拓扑排序队列$list$,每次递归输出的时候把它插到当前$list$的最前面，最后从头到尾打印$list$，就是拓扑排序。这实际上是一个栈，直接用STL的stack即可。

细节处理

1. 应该以入度为$0$的点为起点开始$DFS$。如何找到它？需要找到它吗？如果有多个入度为$0$的点呢？
   这几个问题其实并不用特别处理。想象有一个虚拟的点$v$，它单向连接到所有其他点。这个点就是图中唯一的$0$入度点，图中所有其他的点都是它的下一层递归，而且它不会把原图变成环路。从这个虚拟点开始$DFS$就完成了拓扑排序。
   例如$图(a)$有两个$0$入度点$a$和$f$。$图(b)$想象有个虚拟点$v$，那么递归返回的顺序见点旁边画线的数字，返回的是拓扑排序的逆序。
   
   在实际编程的时候并不需要处理这个虚拟点，只要在主程序中把每个点轮流执行一遍$DFS$即可。这样做相当于显式地递归了虚拟点的所有下一层点。
2. 如果图不是$DAG$，能判断吗?
   图不是DAG,说明图是有环图，不存在拓扑排序。那么在递归的时候会出现回退边。如果读者不理解这一点，请回顾上一节的内容。在程序中这样发现回退边：记录每个点的状态，如果$dfs()$递归到某个点时发现它仍在前面的递归中没有处理完毕，说明存在回退边，不存在拓扑排序。
3. 如果要按照字典序输出同优先级的节点呢？只需要在$BFS$中把队列换成优先队列即可。