计数类DP——AcWing 900. 整数划分

计数类DP

定义

计数类DP主要是通过动态规划的方法来计算满足特定条件的方案数、组合数等数量相关的问题。

运用情况

需要计算不同排列、组合或情况的数量。
问题具有明显的阶段性，且每个阶段的选择会对后续阶段产生影响。
可以通过逐步构建较小规模问题的解来推导出大规模问题的解。

注意事项

状态定义要准确合理，确保能够涵盖所有需要计数的情况。
边界条件的处理要小心，避免出现错误。
注意状态转移的正确性和完整性，不能遗漏某些可能的情况。
避免重复计算，确保 DP 过程的高效性。

解题思路

确定状态：仔细分析问题，找到合适的状态表示，通常状态包含问题规模、已有的某些特征等。
分析状态转移：找出不同状态之间的联系，即如何从一个状态推导出下一个状态的方案数。
初始化：对边界状态或初始状态进行正确的赋值。
递推求解：按照状态转移方程逐步计算出更大规模问题的解。
得到最终结果：根据问题要求，从最终状态中获取需要的计数结果。

例如，计算从一个起点到一个终点有多少种不同走法的问题，就可以用计数类 DP 来解决，状态可以是当前位置，转移就是根据不同的移动规则来更新方案数。通过合理定义状态和转移方程，就可以准确地计算出总的方案数。

AcWing 900. 整数划分

题目描述

900. 整数划分 - AcWing题库

运行代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MOD = 1e9 + 7;
int dp[1001][1001];
int divide(int n, int m) {
    if (n == 0) return 1;
    if (m == 0) return 0;
    if (dp[n][m]!= -1) return dp[n][m];
    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= min(n, m); i++) {
        res = (res + divide(n - i, i)) % MOD;
    }
    dp[n][m] = res;
    return res;
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    cout << divide(n, n) << endl;
    return 0;
}

代码思路

dp[n][m] 中的 n 表示要划分的整数，m 表示当前划分中允许的最大整数。
divide 函数通过递归的方式计算划分方法的数量。如果 n 为 0，则表示一种划分成功，返回 1；如果 m 为 0 则返回 0。然后通过循环从 0 到 min(n, m) 逐步尝试将当前的数拆分成当前最大数和剩余部分，对剩余部分继续递归调用，将所有结果累加并取模更新状态，最后将计算结果存储在 dp 数组中。在 main 函数中输入 n 后，通过调用 divide(n, n) 并输出结果。

改进思路

可以添加一些注释提高代码的可读性。
可以考虑使用更高效的数据结构或算法来优化性能，虽然在这个规模下可能不太明显。
可以对代码结构进行一些整理和优化，使逻辑更加清晰。

其它代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;
int f[N];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    f[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = i; j <= n; j ++ )
            f[j] = (f[j] + f[j - i]) % mod;
    cout << f[n] << endl;
    return 0;
}

代码思路

初始化：首先设置f[0] = 1，表示选择0个元素的组合只有1种情况（什么都不选）。
双重循环：
- 外层循环变量i从1到n，代表当前考虑的是将多少个元素作为一个整体（从1开始是因为至少选1个元素才有组合变化）。
- 内层循环变量j从i到n，表示在考虑将i个元素作为整体时，可以放置的位置（或理解为累计到目前为止的选择总数）。
- 在内循环中，更新f[j]的值为f[j] + f[j - i]，并取模mod。这里的意思是，对于已经有j-i个元素的组合，我们再添加一个由i个相同元素组成的组合，形成一个新的组合。因此，到达某一总数j的组合数是之前所有小于j的组合数累加的结果，体现了组合数学中的加法原理。
输出结果：经过上述计算后，f[n]即为从1到n的所有整数中选取任意个数的组合总数的和。