关于大数定律的两个题目。

例1

注意牢记公式： P { X } = P { ∑ i = 1 n x i − n μ n σ < x } = ∫ − ∞ x e − x 2 2 d x 2 π P\{ X\} = P \{\frac { \sum_{i=1}^{n} x_i - n \mu}{\sqrt {n} \sigma} < x \} = \frac {\int _{-\infty} ^{x} e ^{- \frac {x^2}{2}}dx} {\sqrt {2 \pi }} P{X}=P{n ​σ∑i=1n​xi​−nμ​<x}=2π ​∫−∞x​e−2x2​dx​

注意此处的分母是 $\sqrt{n}\sigma$，$\sigma$与${\sigma }^2$是不同的，前者是标准差，后者是平方差。此公式的分子分母分别除以n后，转化为平均数的中心极限定理形式：
P { X } = P { x ˉ − μ σ n < x } = ∫ − ∞ x e − x 2 2 d x 2 π P\{ X\} = P \{\frac { \bar x - \mu}{ \frac{ \sigma} {\sqrt {n}} } < x \} = \frac {\int _{-\infty} ^{x} e ^{- \frac {x^2}{2}}dx} {\sqrt {2 \pi }} P{X}=P{n ​σ​xˉ−μ​<x}=2π ​∫−∞x​e−2x2​dx​

此外，还有一个标准化随机变量的形式：

$$\frac{x-\mu }{\sigma }$$

该形式在标准高斯分布和统计学中多有涉及。

例2

注意：

二项分布的分布率：
$$\sum _{k=0}^{n}P(x=k)=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)P^k(1-P{)}^{n-k}=(P+1-P{)}^n=1$$