【学术小白成长之路】03三方演化博弈（基于复制动态方程）均衡点与稳定性分析

从本专栏开始，笔者正式研究演化博弈分析，其中涉及到双方演化博弈分析，三方演化博弈分析，复杂网络博弈分析等等。
先阅读了大量相关的博弈分析的文献，总结了现有的研究常用的研究流程，针对每个流程进行拆解。具体学习每个步骤中的步骤的实现方法和流程。基础性文章，希望对您有帮助，如果存在错误或不足之处，还请海涵。且看且珍惜!

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文章目录

1.均衡点计算
2.稳定性分析
3.MatLAB的代码实现

1.均衡点计算

参与主体根据既得利益不断调整策略以追求自身利益的改善，最终达到动态平衡的策略称为演化稳定策略(ESS)。

在判定演化稳定策略之前首先要求出演化博弈的均衡点。令F(x)）=0、F(y)=0和F(z）=0，即系统策略选择的变化率为零时，可以得到该动力系统的均衡点。

在计算出均衡点之前，我们可以先构建出来雅可比矩阵，先不进行计算，用于后面将均衡点带入雅可比矩阵之中进行计算。

可以看出，雅可比矩阵就对应函数在x，y，z概率上的偏导。
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如某篇文章中所示，在计算出复制动态方程后，通过构建的复制动态方程，来构建雅克比矩阵。

这时候，我们令F(x)=0；F (y)=0；F (z)=0就可以计算出对应的xyz的组合，如（0，0，0）、（0，1，0）这样的组合均衡点。

一般会解出来很多这样的组合解，但是这样均衡点不一定具有稳定，还需要进一步计算。

2.稳定性分析

获取均衡点之后，就可以用到上文构建的雅可比矩阵

将求得的均衡点代入雅可比矩阵求此时矩阵对应的特征值

依据特征值，来判断均衡点的稳定性，一般文章中都是以特征值全负值的数为ESS点

如果特征值均小于0,则均衡点有渐进稳定性，为演化稳定策略；
若的特征值均大于0，则为不稳定点；
若特征值有1或2个大大0，则为鞍点:
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接下来，就可以进行模拟仿真的分析，可以借助Python，Matlab之内的工具进行实现

3.MatLAB的代码实现

%求均衡点及其特征值%
%(1）构建雅可比矩阵:diff是指求偏导
disp(['雅可比矩阵']):
A=[diff(fx,x) diff(fx,y) diff(fx,z);
  diff(fy,x) diff(fy,y) diff(fy,z);
  diff(fz,x) diff(fz,y) diff(fz,z)]
  
%(2〉求均衡点:首先构建等式数组，然后使用solve函数来计算均衡点，输出对应的均衡点，最后构建均衡点数
equ=[fx==0,fy==0,fz==0];
answ=solve (equ,[x,y,z]);
%输出均衡点数组
disp(['均衡点:']):A1=[answ.x, answ.y, answ.z]
%均衡点个数
disp(['均衡点个数']):length(answ.x)