一、题目描述
描述
你有一个背包，最多能容纳的体积是V。
现在有n个物品，第i个物品的体积为vi,价值为wi。
（1）求这个背包至多能装多大价值的物品？
（2）若背包恰好装满，求至多能装多大价值的物品？
输入描述：
第一行两个整数n和V，表示物品个数和背包体积。
接下来n行，每行两个数vi和wi，表示第i个物品的体积和价值。
1≤n,V,vi,wi≤10001≤n,V,vi,wi≤1000
输出描述：
输出有两行，第一行输出第一问的答案，第二行输出第二问的答案，如果无解请输出0。
示例1
输入：
3 5 2 10 4 5 1 4输出：14 9说明：
装第一个和第三个物品时总价值最大，但是装第二个和第三个物品可以使得背包恰好装满且总价值最大。示例2
输入：
3 8 12 6 11 8 6 8输出：8 0说明：
装第三个物品时总价值最大但是不满，装满背包无解。
题目链接：
【模板】01背包_牛客题霸_牛客网
二、算法思路 （动态规划）
解决第一问：
1、状态表示
dp[i][j] 表示：从前 i 个物品中挑选，
总体积不超过 j
，所有的选法中，能挑选出来的最大价值。
2、 状态转移方程
对于选 i 物品的情况，要判断一下 j - v[i] >= 0.
3、初始化
我们多加一行，方便我们的初始化：从i、j下标为1的位置开始填表，对于i、j下标为0，即第一行，第一列，均初始化为0即可。因为第一行代表从0个物品中挑选，第一列代表挑选出来的总体积要不超过0。
4、填表顺序
从上往下填表。
5、返回值
返回dp[n][V].
解决第二问：
第二问要求背包恰好装满，因为有可能凑不齐 j 体积的物品，因此我们把不合法的状态设置为 -1。
1、状态表示
dp[i][j] 表示：从前 i 个物品中挑选，
总体积正好等于 j
，所有的选法中，能挑选出来的最大价值。
2、 状态转移方程
跟第一问一样，dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]) 。
但是在使用
dp[i - 1][j - v[i]] 的时候，不仅要判断 j >= v[i] ，又要判断 dp[i - 1][j - v[i]] 表示的情况是否存在，
也就是 dp[i - 1][j - v[i]] != -1
。
3、初始化
我们多加一行，方便我们的初始化：
- 第一个格子为 0 ，因为正好能凑齐体积为 0 的背包；
- 但是第一行后面的格子都是 -1 ，因为没有物品，无法满足体积大于 0 的情况。
4、填表顺序
从上往下填表。
5、返回值
由于最后可能凑不成体积为 V 的情况，因此返回之前需要判断一下。
三、代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
int n, V;
int N = 1001; //这里N的值要注意一下，因为我们解题时，物品下标是从1开始的
int[] v = new int[N];
int[] w = new int[N];
int[][] dp = new int[N][N];
Scanner in = new Scanner(System.in);
//输入n,V
n = in.nextInt();
V = in.nextInt();
//输入n组v,w
for (int i = 1; i <= n; i++) {
v[i] = in.nextInt();
w[i] = in.nextInt();
}
//填dp表
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= V; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j - v[i] >= 0) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
}
}
System.out.println(dp[n][V]);
//第二问，求背包恰好装满的情况
//先将dp表清零
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= V; j++) {
dp[i][j] = 0;
}
}
//初始化
for (int j = 1; j <= V; j++) {
dp[0][j] = -1;
}
//填表
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= V; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j - v[i] >= 0 && dp[i - 1][j - v[i]] != -1) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
}
}
System.out.println(dp[n][V] == -1 ? 0 : dp[n][V]);
}
}四、优化
空间优化：
背包问题基本上都是利用
「滚动数组」
来做空间上的优化。
在01背包问题中，优化的结果为：
- 删掉所有的横坐标；
- 修改一下 j 的遍历顺序。
优化之后的代码：
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
int n, V;
int N = 1001; //这里N的值要注意一下，因为我们解题时，物品下标是从1开始的
int[] v = new int[N];
int[] w = new int[N];
int[] dp = new int[N];
Scanner in = new Scanner(System.in);
//输入n,V
n = in.nextInt();
V = in.nextInt();
//输入n组v,w
for (int i = 1; i <= n; i++) {
v[i] = in.nextInt();
w[i] = in.nextInt();
}
//填dp表，注意j的遍历顺序
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = V; j >= v[i]; j--) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
}
}
System.out.println(dp[V]);
//第二问，求背包恰好装满的情况
//先将dp表清零
for (int j = 1; j <= V; j++) {
dp[j] = 0;
}
//初始化
for (int j = 1; j <= V; j++) {
dp[j] = -1;
}
//填dp表，注意j的遍历顺序
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = V; j >= v[i]; j--) {
if (dp[j - v[i]] != -1) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
}
}
}
System.out.println(dp[V] == -1 ? 0 : dp[V]);
}
}
