一、背景介绍

2007 年的全球经济危机深刻改变了世界经济格局，引发了一系列连锁反应，波及各大洲。经济增长停滞不前，甚至在某些情况下出现负增长，给出口导向型发展中国家带来了不确定性。实体经济受到的冲击尤为严重，生产成本上升，利润下降，实际经济价值缩水。相比之下，金融部门的投资活动激增，原因是在动荡的经济环境中寻求稳定和更高的回报。然而，金融投资的性质与实体经济有很大不同，实体经济的特点是复杂且往往不可预测的因素交织在一起。。。。。

二、研究现状

理解和掌握标准普尔 500 指数的变化规律，对于正确评估美国经济趋势、跟踪世界经济发展的源和流、参与全球市场套利和定价具有重要的现实意义。基于标准普尔 500 指数在金融市场中的重要地位，标准普尔 500 指数的预测受到研究人员的更多关注。

目前对标准普尔 500 指数的研究主要集中在短期预测上，使用不同的研究工具。例如，[1]在预测标准普尔 500 指数值时使用隐马尔可夫链方法和离散时间马尔可夫链方法，指出使用全样本数据和特征子样本时预测效果更好。。。。。。

三、数据集介绍和分析

3.1 数据分析

在这项研究中，选择了美国股票的标准普尔 500 指数进行预测分析，并初步选择开盘价、最高价、最低价和收盘价作为研究数据。

标准普尔 500 指数的数据收集时间为 1995 年 1 月 3 日至 2020 年 12 月 31 日，包括该期间内的交易日。

library(quantmod)
library(TTR)

data$Date <- as.Date(data$Date, format = "%Y/%m/%d")

# （VWAP）
data$VWAP <- with(data, rowSums(data[, c("High", "Low", "Close")]) / 3 * Volume / sum(data$Volume))

#### Convert data to xts objects
HTM_xts <- xts(HTM[, c("Open", "High", "Low", "Close")], order.by = HTM$Date)


plot(HTM_xts)
addLegend("topleft", legend.names = colnames(HTM_xts), lwd = 1)

 

3.2稳定性分析

该检验的原假设和备择假设为：

原假设：该序列存在单位根。

备择假设：该序列不存在单位根。

如果我们不能拒绝原假设，我们可以说该序列是非平稳的。

以收盘价为例，通过上图我们可以看出，该指数的均值和标准差都在增加，初步判断该序列是非平稳的。

表 1. 单位根检验的结果

	Variable	ADF Statistic	p value
Dickey-Fuller Test	Open	-0.428	0.985
	High	-0.250	0.990
	Low	-0.525	0.981
	Close	-0.442	0.984

 从表 1 中，我们观察到所有四个时间序列的 p 值都大于 0.05。因此，我们不能拒绝原假设，并得出时间序列是非平稳的结论。为了解决这个问题，我们需要对序列进行差分。

	Variable	ADF Statistic	p value
Dickey-Fuller Test	Open	-18.943	0.010
	High	-18.834	0.010
	Low	-18.697	0.010
	Close	-18.742	0.010

 四、方法理论

向量自回归（VAR）模型是自回归（AR）模型的扩展，是一种常用的计量经济模型[6]。它考虑了多个变量之间的相互依赖关系，比简单的 AR 模型更全面。。。。。

五、模型建立和分析

选择 1995-01-03 至 2020-11-16 期间作为训练集，预测 2020-11-17 至 2020-12-31 期间的数据。

	AIC(n)	HQ(n)	SC(n)	FPE(n)
1	17.678	17.686	17.699	47606900.000
2	17.073	17.086	17.111	25986330.000
3	16.810	16.829	16.865	19983500.000
4	16.735	16.759	16.805	18523240.000
5	16.583	16.613	16.670	15910690.000
6	16.513	16.549	16.617	14837310.000
7	16.442	16.484	16.563	13826240.000
8	16.391	16.439	16.529	13139830.000
9	16.307	16.360	16.461	12075260.000
10	16.273	16.332	16.444	11673230.000

 

我们可以看到，不同的标准选择了相同的滞后长度（n=10）。当滞后长度超过 3 时，AIC 值的下降幅度变小，这表明在 3 之后添加更多的滞后观测值并不会显著提高模型拟合度。因此，按照选择 AIC 值较小的更简单模型的原则，我们选择 p=3 作为滞后阶数。

Estimation results for equation Open:
Open = Open.l1 + High.l1 + Low.l1 + Close.l1 + Open.l2 + High.l2 + Low.l2 + Close.l2 + Open.l3 + High.l3 + Low.l3 + Close.l3 + const
	Estimate	Std.Error	t value	Pr(>|t|)
Open.l1	-0.840	0.018	-45.764	< 2e-16 ***
High.l1	-0.004	0.016	-0.229	0.819
Low.l1	0.043	0.014	3.079	0.00209 **
Close.l1	0.897	0.012	72.094	< 2e-16 ***
Open.l2	-0.309	0.020	-15.594	< 2e-16 ***
High.l2	-0.113	0.019	-6.031	1.72e-09 ***
Low.l2	0.001	0.016	0.072	0.943
Close.l2	0.820	0.018	44.881	< 2e-16 ***
Open.l3	-0.011	0.013	-0.852	0.395
High.l3	-0.108	0.016	-6.676	2.66e-11 ***
Low.l3	-0.017	0.014	-1.200	0.230
Close.l3	0.367	0.016	22.711	< 2e-16 ***
const	0.135	0.093	1.449	0.147
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 7.522 on 6499 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.8063, Adjusted R-squared: 0.8059
F-statistic:  2254 on 12 and 6499 DF,  p-value: < 2.2e-16

Estimation results for equation High:
High = Open.l1 + High.l1 + Low.l1 + Close.l1 + Open.l2 + High.l2 + Low.l2 + Close.l2 + Open.l3 + High.l3 + Low.l3 + Close.l3 + const
	Estimate	Std.Error	t value	Pr(>|t|)
Open.l1	-0.196	0.030	-6.592	4.69e-11 ***
High.l1	-0.680	0.026	-25.885	< 2e-16 ***
Low.l1	0.041	0.023	1.815	0.06952 .
Close.l1	0.698	0.020	34.741	< 2e-16 ***
Open.l2	0.133	0.032	4.164	3.16e-05 ***
High.l2	-0.538	0.030	-17.707	< 2e-16 ***
Low.l2	-0.018	0.026	-0.714	0.475
Close.l2	0.715	0.030	24.222	< 2e-16 ***
Open.l3	0.111	0.021	5.308	1.14e-07 ***
High.l3	-0.324	0.026	-12.385	< 2e-16 ***
Low.l3	-0.015	0.022	-0.658	0.511
Close.l3	0.281	0.026	10.743	< 2e-16 ***
const	0.391	0.151	2.592	0.00955 **
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 12.15 on 6499 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.3167, Adjusted R-squared: 0.3154
F-statistic:   251 on 12 and 6499 DF,  p-value: < 2.2e-16

 模型检验

为了确保模型已经捕获了数据中的所有方差和模式，我们需要测试残差项中是否存在剩余相关性。

Portmanteau Test (asymptotic)
Chi-squared = 850.9	df = 0	p-value < 2.2e-16

非常小的 p 值表明拒绝了无自相关的原假设。这是一个信号，表明需要增加滞后长度。我们可以考虑在 VAR 模型中选择更高的滞后阶数，以使残差中的自相关在很大程度上被消除。以“Close”为例，可以看出模型的预测性能不是很令人满意（见图 5）。

comparison_df <- data.frame(
  date = forecast_df$date,
  forecasted = forecast_df$close,
  actual = test_o$Close
)
comparison_df

ggplot(comparison_df, aes(x = date)) +
  geom_line(aes(y = forecasted, color = "Forecasted")) +
  geom_line(aes(y = Close, color = "Actual")) +
  labs(x = "Date", y = "Close Value", color = "Data") +
  scale_color_manual(values = c("Forecasted" = "blue", "Actual" = "red")) +
  theme_minimal()+
  theme(panel.border = element_rect(color = "black", fill = NA),  
        panel.grid.major = element_blank(), 
        panel.grid.minor = element_blank())

四个指数的预测误差在 50 左右。

	Open	High	Low	Close
RMSE	54.559	54.141	57.482	58.794

 可视化结果如下

###plot
rmse_open <- 54.55896
rmse_high <- 54.14115
rmse_low <- 57.48235
rmse_close <- 58.79398


rmse_data <- data.frame(
  RMSE = c(rmse_open, rmse_high, rmse_low, rmse_close),
  Type = c("Open", "High", "Low", "Close")
)


barplot(rmse_data$RMSE, 
        names.arg = rmse_data$Type, 
        main = "RMSE Values",
        xlab = "Type",
        ylab = "RMSE",
        col = rainbow(length(rmse_data$RMSE))) 


text(x = 1:length(rmse_data$RMSE), 
     y = rmse_data$RMSE, 
     label = round(rmse_data$RMSE, 2), 
     pos = 3, 
     cex = 0.8, 
     col = "black",
     xpd = TRUE) 

接下来，使用欧美汇率数据对 S&P 500 股票价格和其他特征进行多元线性回归：

 

Call:
lm(formula = dataset$UR_USD Close ~ log_Open + log_High + log_Low +     log_Close, data = dataset)
Residuals:
Min	1Q	Median	3Q	Max
-0.48796	-0.09936	-0.02465	0.08142	0.48518
Coefficients:
	Estimate	Std. Error	t value	Pr(>|t|)
(Intercept)	4.80613	0.05312	90.480	< 0.0000 ***
log_Open	0.51837	0.61270	0.846	0.397575
log_High	-2.27459	0.66081	-3.442	0.0006 ***
log_Low	1.98556	0.56573	3.510	0.000453 ***
log_Close	-0.65925	0.59302	-1.112	0.266336
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.1658 on 4297 degrees of freedom Multiple R-squared:  0.4693, Adjusted R-squared:  0.4689 F-statistic: 950.1 on 4 and 4297 DF,  p-value: < 0.00000000000000022

从上述模型拟合结果可以看出，去除对数后的每日最高价和每日最低价是最显著的水平，因此从理论上讲，它们对欧美汇率有影响。 

六、结论

在这项研究中，VAR 模型被用于对标准普尔 500 指数的开盘价、最高价、最低价和收盘价进行多变量预测。然而，我们的分析表明，虽然 VAR 模型在捕捉一些变量之间的线性关系方面表现良好，但它可能无法完全捕捉非线性驱动因素的影响。随后，我们使用欧美汇率数据，结合标准普尔 500 股票和其他特征的数据，对数据进行多元线性回归和对数处理，最终结果表明，标准普尔 500 指数的每日最高价和最低价对欧元兑美元汇率有显著影响。

在未来的实验过程中，可以选择特征进行进一步的影响分析，如脉冲响应和方差分解等，这些可以继续探索影响因素，同时为经济投资提供一定程度的指导。

七、参考文献

[1]Hashemi, Ray R., et al. Extraction of the Essential Constituents of the S&P 500 Index. 2017 international conference on computational science and computational intelligence (CSCI). IEEE, 2017.

[2]Sukparungsee, S. . A comparison of s&p 500 index forecasting models of arima, arima with garch-m and arima with e-garch.International Journal of Technical Research and Applications,32,2015.

[3]K.J.M. Cremers. Stock return predictability. a Bayesian model selection perspective. Rev. Financ. Stud,15(4), 1223–1249,2002.

[4]Wang F .Predicting S&P 500 Market Price by Deep Neural Network and Enemble Model[J].E3S Web of Conferences, 2020.DOI:10.1051/e3sconf/202021402040.

[5]G. M. Siddesh,et al.A Long Short-Term Memory Network-Based Approach for Predicting the Trends in the S&P 500 Index.Journal of The Institution of Engineers.1(105),19-26,2024.

数据和代码

代码和完整报告

创作不易，希望大家多多点赞收藏和评论！