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一、统计学及思维模式

现象可以分为未知现象和必然现象两类，但是分类的结果因人而异。

任何未知现象（问题）都可以从各种角度来研究。如定积分的值：

• ①数学方法：定积分的定义，分割[0,1]区间，以直代曲逼近曲边梯形的面积。数学研究以公理和假设为前提，研究结果只有对错之分。
• ②统计方法：收集均匀分布随机变量的观测数据，通过被积函数在观测数据处值的算术平均值来认识积分值。

统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学。统计学思维模式：对未知现象(问题)，通过阶段研究流程得到新知识(认识结果);通过实践检验发现新认识的不足，确认下一步研究问题。

如果忽略实践检验而坚信已有研究结果完美无缺，就是统计学中的迷信。

二、未知现象的数学描述

• 理想模型：$Y=f(X_1,...,X_m)+ϵ$
  • $f(X_1,...,X_m)=E(Y|X_1,...X_m)$是在已知所有确定因素下$Y$的条件数学期望
  • $f$为回归函数
  • $ϵ$为模型误差
• 理想预报公式：$Y=E(Y|X_1,...,X_m)$
  • 直接用$f(X_1,...,X_m)=E(Y|X_1,...X_m)$估计$Y$
  • 用该公式估计$Y$的误差为$ϵ$
• 数学模型：$Y=f(X_1,...,X_m)$
• 现实模型：$Y=\hat{f}(X_1,...,X_k|{\theta }_0)+\eta$
  • 实际应用时无法知道$E(Y|X_1,...X_m)$的数学表达式，因此选择依据所掌握知识确定一个k元函数族 { f ^ ( ⋅ ∣ θ 0 ) : θ ∈ Θ } \{\hat{f}(\cdot|\theta_0):\theta\in\Theta\} {f^​(⋅∣θ0​):θ∈Θ}中的某一个函数$\hat{f}(\cdot |{\theta }_0)$最接近$E(Y|X_1,...X_m)$
  • $\eta$为模型误差
• 经验预报公式：$Y=\hat{f}(X_1,...,X_k|\theta )$
  • 用$\hat{\theta }\in \Theta$估计${\theta }_0$

理想模型是在已知所有相关的解释变量情况下对响应变量Y的估计。而现实情况下，我们没有办法知道所有的解释变量，只能尽可能的通过已知知识去确定尽可能多的解释变量，使得通过现实模型回归得到的相应变量Y的估计值的均方误差尽可能的小。在现实情况下，取得最小均方误差的模型就叫做最优模型。

由于统计模型和理想模型之间的差异，意味着所关心的未知现象Y在不同的研究阶段会有不同的表征。

三、线性模型

（一）线性模型的定义

线性模型的定义：
对于响应变量$Y$和解释变量$X_1,...X_q$，如果存在$q$元函数$Z_1,...,Z_p$，以及实数${\beta }_1,...,{\beta }_p$使得：
$$Y=Z_1(X){\beta }_1+...+Z_p(X){\beta }_p+ϵ$$
并且$ϵ$为随机变量，满足条件$E(ϵ|X)\equiv 0$，则称其为线性回归模型或线性模型。

线性模型的理想预报公式：
$$Y=Z_1(X){\beta }_1+...+Z_p(X){\beta }_p$$

• $X$为解释向量，简称解释变量
• $Z=(Z_1,...,Z_p)$为设计向量

不同的设计向量对应于不同的线性模型，应用线性模型解决应用问题的关键在于构造设计向量

（二）线性模型的参数估计

线性模型的参数估计：

• 样本：$(Y_1,X_1),...,(Y_n,X_n)$
• 样本观测数据：$(y_1,x_1),...(y_n,x_n)$

样本代表抽象的观测结果，用于理论研究；样本观测数据是具体的确定的观测结果向量，包含了总体的结构信息，样本观测过程结束后永不改变。

线性模型的样本表达形式为：
$$Y=Z\beta +ϵ$$
其中，$Y=(Y_1,...Y_n{)}^T,Z=(Z(X_1{)}^T,...,Z(X_n{)}^T{)}^T,ϵ=({ϵ}_1,...,{ϵ}_n{)}^T,E(ϵ|X)=0$，进一步当各个样本点相互独立时，$Var(ϵ)={\sigma }^2{I}_n$。

最小二乘估计：

• 估计的目标：最小化$Q(\beta )=(Y-Z\beta {)}^T(Y-Z\beta )$
• 参数的最小二乘估计：$\hat{\beta }=(Z^{T}Z{)}^{-1}{Z}^{T}Y$
• 响应变量的经验预报公式：$Y=Z\hat{\beta }$
• 模型误差的方差估计：${\sigma }^2=\frac{(Y-Z\hat{\beta }{)}^T(Y-Z\hat{\beta })}{n-p}$

（三）线性模型的应用

线性模型的应用：
$$Y=Z(X)\beta +\eta$$
在假设$\eta$为随机变量的情况下，可以证明Y和X满足线性模型，在假设$\eta$不具备频率稳定性的情况下，Y和X不满足线性模型。$\eta$是用$Z(X)\beta$估计$Y$的误差，如果已知这个模型误差的分布密度，就可以用极大似然估计方法来估计模型参数。当模型误差服从均值为0的正态分布时，线性模型参数的最小二乘估计和极大似然估计相等。

线性模型适用条件： 响应变量$Y$的值域是$R$（全体实数）

（四）离散解释变量的设计向量构建方法

考虑1连续型响应变量$Y$和1维解释变量$X$，其中$X$的值域为 { 0 , 1 , 2 } \{0,1,2\} {0,1,2}，建立用于拟合$(Y,X)$的样本观测数据的线性模型。

• 方法一：构建设计向量$Z(x)=(1,x)$得到线性模型$Y=Z(X)\alpha +\eta$，模型参数为$\alpha =({\alpha }_0,{\alpha }_1{)}^T$
• 方法二：构建设计向量 Z ( x ) = ( 1 , 1 { 0 } ( x ) , 1 { 1 } ( x ) , 1 { 2 } ( x ) ) Z(x)=(1,1_{\{0\}}(x),1_{\{1\}}(x),1_{\{2\}}(x)) Z(x)=(1,1{0}​(x),1{1}​(x),1{2}​(x))得到线性模型$Y=Z(X)\beta +\eta$，模型参数为$\beta =({\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3{)}^T$
• 方法三：构建设计向量 Z ( x ) = ( 1 , 1 { 0 } ( x ) , 1 { 1 } ( x ) ) Z(x)=(1,1_{\{0\}}(x),1_{\{1\}}(x)) Z(x)=(1,1{0}​(x),1{1}​(x))得到线性模型$Y=Z(X)\gamma +\eta$，模型参数$\gamma =({\gamma }_0,{\gamma }_1,{\gamma }_2{)}^T$
• 方法四：构建设计向量 Z ( x ) = ( 1 , 1 { 0 } ( x ) − 1 { 2 } ( x ) , 1 { 1 } ( x ) − 1 { 2 } ( x ) ) Z(x)=(1,1_{\{0\}}(x)-1_{\{2\}}(x),1_{\{1\}}(x)-1_{\{2\}}(x)) Z(x)=(1,1{0}​(x)−1{2}​(x),1{1}​(x)−1{2}​(x))得到线性模型$Y=Z(X)\delta +\eta$，模型参数$\delta =({\delta }_0,{\delta }_1,{\delta }_2{)}^T$

离散值变量的哑变量编码：
当解释变量的某一分量$X$为k分类变量时，需要将其量化才能建模。

• X的哑变量编码：
  X = ( 1 { 1 } ( X ) , . . . , 1 { k − 1 } ( X ) ) X=\left(1_{\{1\}}(X),...,1_{\{k-1\}}(X)\right) X=(1{1}​(X),...,1{k−1}​(X))
• 设计向量的构建：
  $$W=(1,X)$$
• 用哑变量编码的线性回归模型：
  $$H=W\beta +ϵ$$

离散变量的哑变量编码会随着参考值的改变有着不同的表现形式，但是他们的剩余标准误差值、多重决定系数值、调整R方值和F-统计量值都完全相同，不同的是模型参数估计结果。事实上，不同模型之间的参数也存在着一一对应的关系，其最小二乘经验预报公式的预报结论是相同的。

在哑变量编码线性模型中，模型参数估计值的实际含义和构建的变量编码的参考值(类)有关。进一步在哑变量编码线性模型中，离散变量的参考值(类)对于响应变量的作用合并到截距项参数中，因此不能直接用该模型分析参考值(类)对于响应变量的影响。

离散变量的效应编码：
效应编码将$q$分类变量表示为$q=k-1$维向量，并称 $k$ 为效应编码的参考值或参考类，可用效应编码构建线性模型的设计向量。
X = ( 1 { 1 } ( X ) − 1 { k } ( X ) , . . . , 1 { q } ( X ) − 1 { k } ( X ) ) X=\left(1_{\{1\}}(X)-1_{\{k\}}(X),...,1_{\{q\}}(X)-1_{\{k\}}(X)\right) X=(1{1}​(X)−1{k}​(X),...,1{q}​(X)−1{k}​(X))

• 设计向量的构建：
  $$\tilde{W}=(1,X)$$
• 用哑变量编码的线性回归模型：
  $$H=\tilde{W}\gamma +ϵ$$
  效应编码和哑变量编码：
• 从预报的角度，用哑变量建模和用效用编码建模的效果相同：得到的模型的剩余标准误差值、多重决定系数值、调整R方值和F-统计量值都完全相同，不同的是模型参数估计结果。
• 差别在于参考类的表示：
  • 哑变量编码中，参考类由各个分量都是0的编码向量表示，参考类对于响应变量的影响隐含在常数项中
  • 效应编码中，参考类用各个分量都是-1的编码向量表示，此时该变量的参考类对于响应变量的贡献为其他类的贡献之和乘以-1，常数项是各个解释变量对于响应变量的平均影响之和
• 哑变量编码 更适合直接比较某个类别与参考类别的差异，解释简单明了；效应编码 更适合分析所有类别相对于整体的影响，能够揭示更复杂的关系和模式。

离散变量的独热编码：
若一维变量$X$的值域 { x 1 , . . . , x q } \{x_1,...,x_q\} {x1​,...,xq​}，$q$为正整数，就可以用独热编码将$X$量化为 :
X = ( 1 { x 1 } ( X ) , . . . , 1 { x q } ( X ) ) X=\left(1_{\{x_1\}}(X),...,1_{\{x_q\}}(X)\right) X=(1{x1​}​(X),...,1{xq​}​(X))
在深度学习等IT领域，独热编码深受欢迎。独热编码中仅有一个分量为1，其余分量为0，且各个分量之和为1。在应用线性模型解决实际问题中，可以借助独热编码构建设计向量。

独热编码的设计向量中的第一分量不是1。

考虑婴儿身高H（cm）与年龄X（月）之间的关系：

• 对于哑变量编码构造的设计向量：$H=W\beta +ϵ$。${\beta }_0$表示参考月（0月）男婴平均身高信息，${\beta }_k$表示k月男婴的平均身高和参考月男婴平均身高之差
• 对于效应编码构造的设计向量：$H=\tilde{W}\gamma +ϵ$。${\gamma }_i$的值的大小并无实际意义，但是否等于0有实际意义：${\gamma }_i=0$表示男婴的身高与他的年龄是否为i月没有关系，${\sum }_{i=1}^{12}{\gamma }_i=0$表示男婴的身高与他是否为初生婴儿没有关系。
• 对于独热编码构造的设计向量：$H=T\delta +ϵ$。${\delta }_k$表示k月男婴的平均身高，系数表示当分类变量取该类别时（即对应哑变量为1），预测值相对于截距项的增加或减少量。

四、线性模型的推广

线性模型的适用条件是响应变量的值域为实数空间，当此条件不满足时如何建立现实模型和经验预报公式？

考虑线性模型的等价表达式： $E(Y|X)=Z(X)\beta$，其中$Z(X)=(Z_1(X),...,Z_p(X))$
与线性模型相比，这个表达式隐藏了模型误差，从而可以通过复合函数的思想来拓展线性模型。线性模型的适用条件期望条件转变为$E(Y|X)$的所有可能取值为全体实数。

广义线性模型：
当$E(Y|X)$的值域$D\ne R$时，若存在函数$h:R\to D$，以及向量值函数$Z=Z(X)$，使得
$$E(Y|X)=h(Z(X)\beta )$$
就称其为广义线性回归模型或广义线性模型，称$h$为响应函数，称$Z$为设计向量，称$\beta$为模型参数。

要证明可以用广义线性模型描述响应变量$Y$和解释变量$X$的关系，需要确定广义线性模型的三个主要组成部分：随机分布、线性预测子和连接函数。

• 响应变量$Y$的条件分布属于指数分布族。
• 存在一个线性预测子$\eta ={\beta }_0+{\beta }_{1}X$
• 存在一个合适的联系函数$g(\cdot )$将期望值$E(Y|X)$和线性预测子$\eta$联系起来

考虑$E(Y|X)$没有任何实际意义的情况：（鸢尾花分类问题）

在已知解释变量$X$的情况下，分类变量$Y$的变化规律由条件密度 $p_k(X)=P(Y=k|X),k=1,2,3$ 刻画，而这一条件密度又可以表示为条件数学期望：
( p 1 ( X ) , p 2 ( X ) ) = ( E ( 1 { 1 } ( Y ) ∣ X ) , E ( 1 { 2 } ( Y ) ∣ X ) ) = E ( Y ∣ X ) (p_1(X),p_2(X))=(E(1_{\{1\}}(Y)|X),E(1_{\{2\}}(Y)|X))=E(Y|X) (p1​(X),p2​(X))=(E(1{1}​(Y)∣X),E(1{2}​(Y)∣X))=E(Y∣X)
其中 Y = ( 1 { 1 } ( Y ) , 1 { 2 } ( Y ) ) Y=(1_{\{1\}}(Y),1_{\{2\}}(Y)) Y=(1{1}​(Y),1{2}​(Y))是响应变量$Y$的哑变量编码。从而就可以选择合适的2维向量函数 $h(u)=(h_1(u),h_2(u))$ 构建合适的设计矩阵：
$$Z=\left(\begin{array}{ccc}{Z}_{11}(X)& ...& Z_{1p}(X)\\ Z_{21}(X)& ...& Z_{2p}(X)\end{array}\right)$$
进而用
$$E(Y|X)=h(Z\beta )$$
拟合鸢尾花分类样本观测数据。

q维广义线性模型：
q维响应变量$Y$和解释变量$X$满足：
$$E(Y|X)=h(Z\beta )$$
就称$Y$和$X$满足q维广义线性模型，其中$h:R^q\to R^q$为可逆q维向量值响应函数，设计矩阵为：
$$Z=\left(\begin{array}{ccc}{Z}_{11}(X)& ...& Z_{1p}(X)\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ Z_{q1}(X)& ...& Z_{qp}(X)\end{array}\right)$$

一般地，如果一维响应变量$Y$的值域为 D = { v 1 , . . . v k } D=\{v_1,...v_k\} D={v1​,...vk​}，其中k为大于1的正整数，那么其哑变量编码的条件期望是其密度的等价刻画，因此可基于哑变量编码的条件期望建立模型。特别的，称q=k-1维广义线性模型$E(Y|X)=h(Z\beta )$为k响应模型。其中Y是Y的哑变量编码。