猫猫与数学

问题建模

给定两个正整数a，b，问能否找到最小的整数c，使得gcd(a+c,b+c)不等于1，若可以输出c，不行则输出-1。

问题分析

1.转换条件

将a，b变为a>=b的形式，然后采用更相减损法将gcd(a+c,b+c)变为gcd(a-b,b+c)，这样新的gcd()里面就只有一个未知数。

2.分析新的gcd

由于a-b为定值，则gcd求出的公约数可以通过a-b的约数找到，在找到一个约数后判断是否能构造出一个有同样约数b+c即可，最终输出最小的c即可。

3.方法1筛约数判断

代码

#include<bits/stdc++.h>

#define x first
#define y second
#define C(i) str[0][i]!=str[1][i]
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
const int N = 2e5 + 10, P = 2048;
const LL INF=1e18;
LL a,b;
LL check(LL x){
    if(x==1)    return INF;
    ///不需要考虑b%x==0的情况，因为该情况在判断gcd(a,b)>1时已经判断了
    return  x-b%x; 
}

void solve() {
    cin >>a >>b;
    if(a<b) swap(a,b);
    if(__gcd(a,b)>1)    puts("0");
    else{
        ///特判，差1时，公约数只能为1，故输出-1。相等且不为偶数时，+1至少有公因子2，>1
        if(a-b==1)  puts("-1");
        else if(a-b==0) puts("1");
        else {
            LL s=a-b;
            LL res=INF;
            for(LL i=1;i<=s/i;i++){
                if(s%i==0){
                    res=min({res,check(i),check(s/i)});
                }
            }
            cout <<res <<"\n";
        }
    }
}


int main() {
    int t = 1;
    //cin >> t;
    while (t--) solve();
    return 0;
}

4.方法2筛质因子判断

代码

#include<bits/stdc++.h>

#define x first
#define y second
#define C(i) str[0][i]!=str[1][i]
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
const int N = 2e5 + 10, P = 2048;
const LL INF=1e18;

void solve() {
    LL a,b;
    cin >>a >>b;
    if(a<b) swap(a,b);
    if(__gcd(a,b)>1)    puts("0");
    else{
        if(a-b==1)  puts("-1");
        else if(a-b==0) puts("1");
        else {
            LL s=a-b;
            LL res=INF;
            for(LL i=2;i<=s/i;i++){
                if(s%i==0){
                    res=min(res,i-b%i);
                    while(s%i==0)   s/=i;
                }
            }
            if(s>0) res=min(res,s-b%s);
            cout <<res <<"\n";
        }
    }
}


int main() {
    int t = 1;
    //cin >> t;
    while (t--) solve();
    return 0;
}