二叉树-堆的详解

一，树的概念

1，树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。

把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合

T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

因此，树是递归定义的

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

2，树的相关概念

3，二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空

2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

特殊的二叉树：

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

节点与高度关系

设高度为h，节点个数为N

4,堆的概念

如果有一个关键码的集合K = { ，，，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足： = 且 >= ) i = 0，1， 2…，则称为小堆(或大堆)。将根结点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根结点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

物理：数组

逻辑：完全二叉树

堆的性质

堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；

堆总是一棵完全二叉树。

二，堆的实现

老规矩建立三个文件 Heap.c Heap.h Test.c

1，堆的结构

typedef int HPDataType;

typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;

2，堆的初始化

void HPInit(HP* php);

void HPInit(HP* php)
{
	assert(php);
	php->a = NULL;
	php->capacity = php->size = 0;
}

3，堆的销毁

void HPDestroy(HP* php);

void HPDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

4，数据的交换

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

5，向上调整（小堆为例）

void AdjustUp(HPDataType* a, int child);

void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	// 初始条件
	// 中间过程
	// 结束条件
	int parent = (child - 1) / 2;
	//while (parent >= 0)
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

条件while (parent >= 0) 不准确，由于child==0时，parent = (child - 1) / 2;是整型还是为0，故可以实现

6，堆的插入

void HPPush(HP* php, HPDataType x);

判断空间是否足够

if (php->size == php->capacity)
	{
		int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			return;
		}

插入数据

php->a = tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}

	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

调整数据

AdjustUp(php->a, php->size - 1);

总代码

void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);

	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			return;
		}

		php->a = tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}

	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

7，堆的删除（删除堆顶）

挪动覆盖删除堆顶数据，会导致堆的关系错误

可以将堆顶数据和堆尾数据互换，这样其两个左右子树还是小堆，然后使用向下调节算法

void HPPop(HP* php);

void HPPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size-1]);
	php->size--;

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

8，向下调整（小堆为例）

void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);

void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
	// 先假设左孩子小
	int child = parent * 2 + 1;

	while (child < n)  // child >= n说明孩子不存在，调整到叶子了
	{
		// 找出小的那个孩子
		if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
		{
			++child;
		}

		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

9，取堆顶数据

HPDataType HPTop(HP* php);

HPDataType HPTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	return php->a[0];
}

10，判断堆是否为空

bool HPEmpty(HP* php);

bool HPEmpty(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size == 0;
}

三，堆的应用

利用堆排序

向上调整建堆

for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		AdjustUp(a, i);
	}

向下调整建堆

for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}

完整代码

void HeapSort(int* a, int n)
{
	// 降序，建小堆
	// 升序，建大堆
	/*for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		AdjustUp(a, i);
	}*/

	for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}

	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		--end;
	}
}