64. 最小路径和https://leetcode.cn/problems/minimum-path-sum/description/

给定一个包含非负整数的m x n网格grid，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。说明：每次只能向下或者向右移动一步。

1. 输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]，输出：7，解释：因为路径1→3→1→1→1的总和最小。
2. 输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]，输出：12。

提示：m == grid.length，n == grid[i].length；1 <= m, n <= 200，0 <= grid[i][j] <= 200。

---

我们用动态规划的思想来解决这个问题。

确定状态表示：根据经验和题目要求，我们用dp[i][j]表示：到达[i, j]位置处，最小路径和是多少。

推导状态转移方程：要想到达[i, j]位置，只有2种情况：

• 先到达[i - 1, j]位置，再向下走一步，到达[i, j]位置。此时的最小路径和就等于，到达[i - 1, j]位置的最小路径和加上网格中[i, j]位置的值，即dp[i - 1][j] + grid[i][j]。
• 先到达[i, j - 1]位置，再向右走一步，到达[i, j]位置。此时的最小路径和就等于，到达[i, j - 1]位置的最小路径和加上网格中[i, j]位置的值，即dp[i][j - 1] + grid[i][j]。

到达[i, j]位置的最小路径和，应该等于这两种情况的较小值，即dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + grid[i][j], dp[i][j - 1] + grid[i][j]) = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]。

初始化：观察状态转移方程，我们发现，在计算dp表最上面一行和最左边一列的值时，会出现越界访问，所以我们要对其初始化。这里我们用增加辅助结点的方式来初始化。我们在dp表的最上面和最左边分别加上一行一列辅助结点。接着，我们要考虑，如何初始化辅助结点，才能确保后续的填表是正确的。我们先把此时的dp表画出来：

* * * *
* ? ? ?
* ?

不难意识到，左上角的?位置的值就应该是网格左上角的值。再根据状态转移方程，我们只需要让min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])这一项等于0，就能符合预期。所以，我们只需要让左上角的?位置，它的上面和左边2个*位置的值初始化为0即可。

* 0 * *
0 ? ? ?
* ?

接下来考虑除了左上角的?位置之外，其他的?位置的值。为了让这些?位置的值符合预期，我们就要让min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])这一项中，*位置的值不影响结果。所以，我们要把这些*都初始化为+∞。由于并没有导致溢出风险的运算，用INT_MAX代表+∞即可。

综上所述：我们要在dp表的最上面和最左边分别加上一行一列辅助结点，并且把[0, 1]位置和[1, 0]位置初始化为0，其余辅助结点初始化为INT_MAX。

填表顺序：根据状态转移方程，dp[i][j]依赖于dp[i - 1][j]和dp[i][j - 1]这2项，所以应从上往下，从左往右填表。

返回值：根据状态表示，显然应返回dp表右下角的值，即dp[m][n]，对应到达网格右下角的最小路径和。

细节问题：由于新增了一行一列辅助结点，所以dp表的规模比网格的规模大一行一列，即dp表的规模为(m + 1) x (n + 1)。由于添加了辅助结点，要时刻注意下标的映射关系，dp表的[i, j]位置对应网格的[i - 1, j - 1]位置。

时间复杂度：O(m x n)，空间复杂度：O(m x n)。

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();

        // 创建dp表
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));

        // 初始化
        dp[0][1] = dp[1][0] = 0;

        // 填表
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i - 1][j - 1];
            }
        }

        // 返回结果
        return dp[m][n];
    }
};