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单词环

题目描述

我们有 $n$ 个字符串，每个字符串都是由 $a\sim z$ 的小写英文字母组成的。

如果字符串 $A$ 的结尾两个字符刚好与字符串 $B$ 的开头两个字符相匹配，那么我们称 $A$ 与 $B$ 能够相连（注意：$A$ 能与 $B$ 相连不代表 $B$ 能与 $A$ 相连）。

我们希望从给定的字符串中找出一些，使得它们首尾相连形成一个环串（一个串首尾相连也算），我们想要使这个环串的平均长度最大。

如下例：

ababc
bckjaca
caahoynaab

第一个串能与第二个串相连，第二个串能与第三个串相连，第三个串能与第一个串相连，我们按照此顺序相连，便形成了一个环串，长度为 $5+7+10=22$（重复部分算两次），总共使用了 $3$ 个串，所以平均长度是 $22÷3\approx 7.33$。

输入格式

本题有多组数据。

每组数据的第一行，一个整数 $n$，表示字符串数量；

接下来 $n$ 行，每行一个长度小于等于 $1000$ 的字符串。

读入以 $n=0$ 结束。

输出格式

若不存在环串，输出No solution，否则输出最长的环串的平均长度，答案保留两位小数。

样例 #1

样例输入 #1

3
intercommunicational
alkylbenzenesulfonate
tetraiodophenolphthalein
0

样例输出 #1

21.66

提示

【数据范围】
$1\le n\le 10^5$

算法思想

根据题目描述，要求是否存一个首尾相连的环串，如果存在的话，求最长的环串的平均长度。
不妨设环中每个字符串的长度为$W_i$，环中字符串的个数为$S$，要求的是$\frac{\sum W_i}{S}$的最大值。这种求“最优比率” 的问题，可以参考博主的另一个文章：每周算法：01分数规划。

建图

在图中最长的环串的平均长度首先考虑如何建图。一种直观的建图方式是将每个单词作为一个节点，如果这两个单词能够首尾匹配，则在这两个单词之间连接一条有向边，此时最多有$10^5$个节点，在最坏情况下（字母都一样）要建$10^{10}$条边，显然不可行。

考虑一种等价的建图方式，将一个单词看作一条边：将开头两个字符和结尾两个字符作为节点，单词长度作为边权，连接一条边，如下图所示：

这样建图，节点数最多只有$26\times 26=676$个，边数即单词数=$10^5$。

01分数规划

本题求的是$\frac{\sum W_i}{S}$的最大值，其中$\sum W_i$表示环串种单词长度之和，$S$表示单词个数。
最优比率问题（即01分数规划）可以用二分求解。即求是否存在$mid$，使环串上各单词长度之和除以单词个数大于$mid$，即$\frac{\sum W_i}{S}>mid$，进一步整理可得：$$\sum (W_i-mid\times 1)>0$$

那么，要判断在包含环的图中是否存在$mid$，使环串上各单词长度之和除以单词个数大于$mid$，就等价于判断当图中边权为$W_i-mid$时，是否存在正权环。而判断是否存在正权环可以使用「SFPA」算法，基本思想与判断负环稍有不同。判断正权环时：

• 要求最长路，即$d[v]<d[u]+w$时，更新$v$点到起点的最长路；
• 当$v$点到起点的最长路被更新时，累加最长路中包含的边数，即$cnt[v]=cnt[u]+1$
• 如果边数$cnt[v]>=n$，说明图中存在正权环。

算法实现

综合上述，求$\frac{\sum W_i}{S}$的最大值算法实现如下：

• 在$[L,R]$范围内通过二分查找答案，对于中间结果$mid$：
  • 使用SPFA算法判断当边权为$p_i-mid\times w_i$时，图中是否存在正权环
• 如果存在正权环，则在$[mid,R]$范围继续查找答案
• 否则不存在正权环，则在$[L,mid]$范围继续查找答案

最后，如何确定二分查找的范围：

• 由于单词长度$W_i>0$，那么$\frac{\sum W_i}{S}>0$;
• 最多有$10^5$个单词，每个单词的长度不超过$1000$，因此$\frac{\sum W_i}{S}\le 1000$

因此，$\frac{\sum W_i}{S}\in (0,1000]$

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//有26*26个点
const int N = 700, M = 100005;
int n;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
bool st[N];
double d[N];
void add(int a, int b, int c)  // 添加一条边a->b，边权为c
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
bool dfs(int u, double mid) //使用dfs实现SPFA，判断以u为起点是否存在正权环
{
    if(st[u]) return true; //走到访问过的点，存在环
    st[u] = true;
    bool flag = false;
    for(int i = h[u]; ~ i ; i = ne[i])
    {
        int  v = e[i];
        if(d[v] < d[u] + w[i] - mid)
        {
            d[v] = d[u] + w[i] - mid;
            flag = dfs(v, mid);
            if(flag) break;
        }
    }
    st[u] = false; //恢复现场
    return flag;
}
bool check(double mid)
{
    memset(d, 0, sizeof d);
    for(int i = 0; i < N; i ++) //枚举所有点作为起点，判读是否存在正权环
        if(dfs(i, mid)) return true;
    return false;
}
int main()
{
    string s;
    while(cin >> n, n)
    {
        idx = 0; //有多组测试样例
        memset(h, -1, sizeof h);
        for(int i = 0; i < n; i ++)
        {
            cin >> s;
            int c = s.size();
            if(c >= 2)
            {
                //将前两和后两个个字符转为26进制数
                int a = (s[0] - 'a') * 26 + s[1] - 'a';
                int b = (s[c - 2] - 'a') * 26 + s[c - 1] - 'a';
                add(a, b, c); //建一条a->b边权为c的边
                
            }
        }
        if(!check(0)) //当mid取0都不存在正权环时，说明无解
        { 
            puts("No solution"); continue;
        }
        double L = 0, R = 1000;
        while(R - L > 1e-4)
        {
            double mid = (L + R) / 2;
            if(check(mid)) L = mid;
            else R = mid;
        }
        printf("%.2lf\n", L);
    }
}