Z 变换

连续时间傅立叶变换（CTFT）的推广是拉普拉斯变换。

离散时间傅立叶变换（DTFT）的推广是Z 变换。

公式

$$\begin{array}{rl}X[z]& =\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\\ x[n]& =\frac{1}{2\pi j}\oint X(z)z^{n-1}dz,\end{array}$$

z变换看起来比较奇怪的是没有显式地看到e，从而让人觉得它不是指数函数。实际上$z=r{e}^{jw}$，r是正实数，相当于极坐标系。因此，$z^{-n}=r^{-n}{e}^{-jwn}$，因此这是离散化之后的复指数函数。和拉普拉斯变换的核函数不同的是，$e^{st}$中的复频率s是由实部和虚部构成的，z变换的核函数是由幅度和相角构成的，分别对应笛卡尔坐标系和极坐标系。

收敛域 ROC

相同的z变换，收敛域不同，对应的时域信号也不同。

举例说明：（抄自奥本海姆的《signals and systems》教材第十章）
X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n u [ n ] z − n = ∑ n = 0 ∞ ( a z ) n = 1 1 − a / z , R O C = { z ∣ ∣ a / z ∣ < 1 } = { z ∣ ∣ a ∣ < ∣ z ∣ } X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a^nu[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{a}{z})^{n} = \frac{1}{1-a/z}, ROC=\{z\mid \left\vert a/z \right\vert <1\} = \{z\mid |a|<|z|\} X(z)=n=−∞∑∞​anu[n]z−n=n=0∑∞​(za​)n=1−a/z1​,ROC={z∣∣a/z∣<1}={z∣∣a∣<∣z∣}

X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ − a n u [ − n − 1 ] z − n = − ∑ n = − ∞ − 1 ( a z ) n = − ∑ n = 1 ∞ ( z a ) n = ( z a ) 0 − ∑ n = 0 ∞ ( z a ) n = 1 − 1 1 − z / a = 1 1 − a / z , R O C = { z ∣ ∣ z / a ∣ < 1 } = { z ∣ ∣ z ∣ < ∣ a ∣ } \begin{aligned} X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}-a^nu[-n-1]z^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}(\frac{a}{z})^{n}\\ &= -\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{z}{a})^{n} =(\frac{z}{a})^{0}-\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{z}{a})^{n} \\ &= 1-\frac{1}{1-z/a} = \frac{1}{1-a/z}, ROC=\{z\mid \left\vert z/a \right\vert <1\} = \{z\mid |z|<|a|\} \end{aligned} X(z)​=n=−∞∑∞​−anu[−n−1]z−n=−n=−∞∑−1​(za​)n=−n=1∑∞​(az​)n=(az​)0−n=0∑∞​(az​)n=1−1−z/a1​=1−a/z1​,ROC={z∣∣z/a∣<1}={z∣∣z∣<∣a∣}​

两个不同的函数的z 变换的代数表达式完全相同，但是收敛域不同。

关注这两个函数的性质：

1. $a^{n}u[n]$​ ，a<1则稳定（一范数有界），因果
2. $-a^{n}u[-n-1]$，a>1则稳定，反因果

收敛域的性质

有理系统函数可以用有理分式来表示。x[n]是复指数的线性组合，那么X(z)就一定是有理的。
$$H(z)=\frac{N(z)}{D(z)}$$
$N(z)=0$的解称零点，$D(z)=0$的解称极点。

1. 收敛域不包含任何极点。
2. 有理+右边序列=roc在最外侧极点所在圆的外面，因果则包含z=∞；
3. 有理+左边序列=roc在最内侧极点所在圆的里面，反因果则包含z=0（注意，不是非因果）；

z 变换的性质

常用z 变换对