傅立叶变换矩阵的频谱响应

线性变换可以用矩阵表示，傅立叶变换是一种线性变换，因此也可以使用矩阵表示。具体可以参考：离散傅立叶变换和线性变换的关系：什么是线性空间？

1、傅立叶矩阵

$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jk\frac{2\pi }{N}n}\text{\hspace{1em}(1)}$$

$$x[n]=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}X[k]e^{jk\frac{2\pi }{N}n}\text{\hspace{1em}(2)}$$

import numpy as np
def F(N):
    F = []
    for k in range(N):
        row_k =[]
        for n in range(N):
            row_k.append(np.exp(-1j*2*np.pi/N*k*n))
        F.append(row_k)
    return np.array(F)

N = 100
x = np.zeros((N,1))
x[0] = 1
X_dft = F(N)@x
X_fft = np.fft.fft(x.T).T
np.linalg.norm(X_dft-X_fft)

In [18]: X_dft.T
Out[18]: 
array([[1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j]])

2、傅立叶变换的频谱响应

一个冲激通过傅立叶变换得到一个常数函数。这个和白噪声的频谱响应是冲激函数是一致的。

因此傅立叶变换的响应是$h(t)=1$​。

系统函数$H(w)=N\delta (w)$

3、平稳随机信号经过线性系统

因此一个平稳随机信号的离散傅立叶变换的均值为$aN$