动态规划——打家劫舍问题

198. 打家劫舍

问题描述

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 2：

输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
     偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

提示：

1 <= nums.length <= 100
0 <= nums[i] <= 400

解题思路与代码实现

dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。

决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。

如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。

如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考虑i-1房，（注意这里是考虑，并不是一定要偷i-1房）

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        if (nums.length == 1) {
            return nums[0];
        }
        int n = nums.length;
        int[] dp = new int[101]; // dp[i]:打劫下标i的房屋所能得到的最大金额
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = Math.max(nums[0],nums[1]); 
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            // 递推方程
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1], nums[i] + dp[i - 2]);

        }
        return dp[n-1];
    }
}

踩坑点

无

213. 打家劫舍 II

问题描述

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警 。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 在不触动警报装置的情况下 ，今晚能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

输入：nums = [2,3,2]
输出：3
解释：你不能先偷窃 1 号房屋（金额 = 2），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 2）, 因为他们是相邻的。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,1]
输出：4
解释：你可以先偷窃 1 号房屋（金额 = 1），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 3）。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 3：

输入：nums = [1,2,3]
输出：3

提示：

1 <= nums.length <= 100
0 <= nums[i] <= 1000

解题思路与代码实现

数组首尾成环，我们可以用之前的方法分别计算[0,n-2]和[1,n-1]区间的最大金额，在进行比较去最大值。

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0)
            return 0;
        int len = nums.length;
        if (len == 1)
            return nums[0];
        return Math.max(robAction(nums, 0, len - 2), robAction(nums, 1, len - 1));
    }

    int robAction(int[] nums, int start, int end) {
        if (start == end)
            return nums[start];
        int[] dp = new int[nums.length]; // 定义dp数组
        dp[start] = nums[start];
        dp[start + 1] = Math.max(nums[start], nums[start + 1]);
        for (int i = start + 2; i <= end; i++) {
            // 递推方程
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
        }
        return dp[end];
    }
}

踩坑点

如何解决首尾成环的情况

337. 打家劫舍 III

问题描述

小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为 root 。

除了 root 之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。如果 两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫 ，房屋将自动报警。

给定二叉树的 root 。返回 在不触动警报的情况下 ，小偷能够盗取的最高金额。

示例 1:
```
输入: root = [3,2,3,null,3,null,1]
输出: 7 
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 3 + 3 + 1 = 7
```
示例 2:

在这里插入图片描述

输入: root = [3,4,5,1,3,null,1]
输出: 9
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 4 + 5 = 9

提示：

树的节点数在 [1, 104] 范围内
0 <= Node.val <= 104

解题思路与代码实现

本题关键是要讨论当前节点抢还是不抢：

如果抢了当前节点，两个孩子就不能继续抢；

如果没抢当前节点，就可以考虑抢左右孩子；

具体是否要抢当前节点，取决于两种方案哪个能抢到的金额更高

class Solution {
    public int rob(TreeNode root) {
        int[] res = robAction(root);
        return Math.max(res[0], res[1]);
    }

    // 返回长度为2的数组，下标0为偷root节点的价值，下标为不偷root节点的价值
    private int[] robAction(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return new int[] { 0, 0 };
        }
        int[] left = robAction(root.left);
        int[] right = robAction(root.right);
        // 偷父节点代表的房屋
        int val1 = root.val + left[1] + right[1];
        // 不偷父节点，偷左右孩子节点
        int val2 = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);
        return new int[] { val1, val2 };
    }
}

也可以采用记忆化递归求解

class Solution {
    // 记忆化递归
    private HashMap<TreeNode,Integer> map = new HashMap<>();
    public int rob(TreeNode root) {
        return robAction(root);
    }
    // 采用后续遍历+记忆化递归
    private int robAction(TreeNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        if(map.containsKey(root)) return map.get(root);
        // 偷父节点代表的房屋
        int val1 = root.val;
        if(root.left != null) { // 偷左孩子的孩子节点
            val1 += robAction(root.left.left) + robAction(root.left.right);
        }
        if(root.right!=null){   // 偷右孩子的孩子节点
            val1 += robAction(root.right.left) + robAction(root.right.right);
        }
        // 不偷父节点，偷左右孩子节点
        int val2 = robAction(root.left) + robAction(root.right);
        int val = Math.max(val1,val2);
        map.put(root,val);  // map记录，避免重复计算
        return val;
    }
}