【数据结构】链式二叉树（超详细）

文章目录

  • 前言
  • 二叉树的链式结构
  • 二叉树的遍历方式
    • 二叉树的深度优先遍历
      • 前序遍历(先根遍历)
      • 中序遍历(中根遍历)
      • 后序遍历(后根遍历)
    • 二叉树的广度优先遍历
      • 层序遍历
  • 二叉树链式结构接口实现
    • 二叉树结点个数
    • 二叉树叶子结点个数
    • 二叉树的深度（高度）
    • 二叉树第k层结点个数
    • 二叉树查找x值的结点
    • 销毁二叉树
    • 二叉树的创建及遍历
  • 衍生题
    • 判断二叉树是否为完全二叉树
    • 判断二叉树是否为单值二叉树
    • 判断两颗二叉树是否相同
    • 判断二叉树是否为对称二叉树
    • 判断一颗二叉树是否为另一颗二叉树的子树
    • 判断二叉树是否为平衡二叉树
    • 翻转二叉树

前言

二叉树的顺序结构就是用数组来存储，而「数组」一般只适合表示「满二叉树」或「完全二叉树」，因为不是完全二叉树会有「空间的浪费」。
普通二叉树的增删查改没有意义，主要学习它的结构，要加上搜索树的规则，才有价值。

二叉树的链式结构

二叉树链式结构的实现
在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，这里手动快速创建一棵简单的二叉树

#include<stdio.h>  // perror, printf
#include<stdlib.h> // malloc




typedef char BTDataType;
// 定义二叉树的结点
typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;






// 动态申请一个新结点
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{
	// 
	BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (newnode == NULL)
	{
		perror("malloc");
		exit(-1);
	}

	newnode->data = x;
	newnode->left = newnode->right = NULL;

	return newnode;
}

// 二叉树的链式结构
BTNode* CreatBinaryTree()
{
	// 创建多个结点
	BTNode* node_A = BuyNode('A');
	BTNode* node_B = BuyNode('B');
	BTNode* node_C = BuyNode('C');
	BTNode* node_D = BuyNode('D');
	BTNode* node_E = BuyNode('E');
	BTNode* node_F = BuyNode('F');

	// 用链来指示结点间的逻辑关系
	node_A->left = node_B;
	node_A->right = node_C;
	node_B->left = node_D;
	node_C->left = node_E;
	node_C->right = node_F;

	return node_A;
}

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式
在这里插入图片描述

二叉树的遍历方式

二叉树的深度优先遍历

由于被访问的结点必是「某子树的根」，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

前序遍历(先根遍历)

遍历顺序：根->左子树->右子树

//前序遍历
void BinaryPrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	//根->左子树->右子树
	printf("%c ", root->data);
	BinaryPrevOrder(root->left);
	BinaryPrevOrder(root->right);
}

这里的访问路径是：A B D NULL NULL NULL C E NULL NULL F NULL NULL

在这里插入图片描述

接下来的两个遍历可以自己试试画一下递归图。

中序遍历(中根遍历)

遍历顺序：左子树->根->右子树

void BinaryInOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	//左子树->根->右子树
	BinaryInOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	BinaryInOrder(root->right);
}

这里的访问路径是：NULL D NULL B NULL A NULL E NULL C NULL F NULL

后序遍历(后根遍历)

遍历顺序：左子树->右子树->根

//后序遍历
void BinaryPostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	//左子树->右子树->根
	BinaryPostOrder(root->left);
	BinaryPostOrder(root->right);
	printf("%c ", root->data);
}

这里的访问路径是：NULL NULL D NULL B NULL NULL E NULL NULL F C A

二叉树的广度优先遍历

层序遍历

层序遍历，自上而下，从左往右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
在这里插入图片描述
我们借助队列来实现：
先入根结点，然后出队列，再入他的两个孩子，然后一样的出孩子，再入孩子的孩子，重复即可。（NULL不入）
在这里插入图片描述

//层序遍历
void BinaryLevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);//初始化队列
	if (root != NULL)
		QueuePush(&q, root);

	int levelSize = 1;
	while (!QueueEmpty(&q))//当队列不为空时，循环继续
	{
		//一层一层出
		while (levelSize--)
		{
			BTNode* front = QueueFront(&q);//读取队头元素
			QueuePop(&q);//删除队头元素
			printf("%c ", front->data);//打印出队的元素
			if (front->left)
			{
				QueuePush(&q, front->left);//出队元素的左孩子入队列
			}
			if (front->right)
			{
				QueuePush(&q, front->right);//出队元素的右孩子入队列
			}
		}
			printf("\n");
			levelSize = QueueSize(&q);
	}
	printf("\n");
	QueueDestroy(&q);//销毁队列
}

二叉树链式结构接口实现

二叉树结点个数

子问题拆解：
 1.若为空，则结点个数为0。
 2.若不为空，则结点个数 = 左子树结点个数 + 右子树结点个数 + 1（自己）。

//结点的个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	//结点个数 = 左子树的结点个数 + 右子树的结点个数 + 自己
	return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

在这里插入图片描述

二叉树叶子结点个数

子问题拆解：
 1.若为空，则叶子结点个数为0。
 2.若结点的左指针和右指针均为空，则叶子结点个数为1。
 3.除上述两种情况外，说明该树存在子树，其叶子结点个数 = 左子树的叶子结点个数 + 右子树的叶子结点个数。

//叶子结点的个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)//空树无叶子结点
		return 0;
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)//是叶子结点
		return 1;
	//叶子结点的个数 = 左子树的叶子结点个数 + 右子树的叶子结点个数
	return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

在这里插入图片描述

二叉树的深度（高度）

子问题拆解：

  1. 先判断当前树的根结点是否为空
  2. 当前树的根结点不为空，分别计算其左右子树的深度
  3. 比较当前树左右子树的深度，最大的那个+1 就是当前树的深度
// 二叉树的深度(高度)
int BinaryTreeMaxDepth(BTNode* root)
{
	// 先判断当前树的根结点是否为空
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	// 当前树的根结点不为空，分别计算其左右子树的深度
	int leftDepth = BinaryTreeMaxDepth(root->left);
	int rightDepth = BinaryTreeMaxDepth(root->right);

	// 比较当前树左右子树的深度，最大的那个+1 就是当前树的深度
	return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;
}

在这里插入图片描述

二叉树第k层结点个数

//第k层结点的个数O(N)
int BinaryTreeKLevelSize(BTNode* root, int k)
{
	assert(k > 0);
	if (root == NULL)
		return 0;
	if (k == 1)//第一层结点个数
		return 1;
	//相对于父结点的第k层的结点个数 = 相对于两个孩子结点的第k-1层的结点个数之和
	return BinaryTreeKLevelSize(root->left, k - 1) 
		+ BinaryTreeKLevelSize(root->right, k - 1);
}

在这里插入图片描述

二叉树查找x值的结点

//查找值为x的结点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)//空树
		return NULL;
	if (root->data == x)//先判断根结点
		return root;
	BTNode* leftret = BinaryTreeFind(root->left, x);//在左子树中找
	if (leftret)
		return leftret;
	BTNode* rightret = BinaryTreeFind(root->right, x);//在右子树中找
	if (rightret)
		return rightret;
	return NULL;//根结点和左右子树中均没有找到
}

在这里插入图片描述

销毁二叉树

这里要用后序遍历来销毁，左子树->右子树->根

//销毁二叉树
void BinaryTreeDestroy(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;
	BinaryTreeDestroy(root->left);
	BinaryTreeDestroy(root->right);
	free(root);//没有用二级指针，这里只是实参的拷贝，需要用完主动置空再函数外置空
	
}

二叉树的创建及遍历

编一个程序，读入用户输入的一串先序遍历字符串，根据此字符串建立一个二叉树（以指针方式存储）。
例如如下的先序遍历字符串： ABC##DE#G##F### 其中“#”表示的是空格，空格字符代表空树。建立起此二叉树以后，再对二叉树进行中序遍历，输出遍历结果。

在这里插入图片描述

依次读取字符，拆分成子问题：
1.如果不是#，创建结点，存值，然后递归其左子树和右子树；
2.如果是#，说明不能构建结点了，直接返回NULL；

#include <stdio.h>

typedef char  BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode{
    BTDataType data;
    struct BinaryTreeNode*left;
    struct BinaryTreeNode*right;

}BTNode;



BTNode*BinaryTreeCreat(char*arr,int*pi)
{
    if(arr[*pi]=='#')
    {
        (*pi)++;
        return NULL;
    }
    BTNode*node=(BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    node->data=arr[*pi];
    (*pi)++;
    node->left=NULL;
    node->right=NULL;
node->left=BinaryTreeCreat(arr,pi);//递归构建左子树
node->right=BinaryTreeCreat(arr,pi);//递归构建右子树
return node;
}

//中序遍历
void BinaryInOrder(BTNode*root)
{
    if(root==NULL)
    return;
    
    BinaryInOrder(root->left);
    printf("%c ",root->data);
    BinaryInOrder(root->right);
}




int main() {
char ret[100];
scanf("%s",&ret );
int i=0;
BTNode*root= BinaryTreeCreat(ret,&i);
BinaryInOrder(root);
printf("\n");



    return 0;
}

衍生题

判断二叉树是否为完全二叉树

用一个队列来判断
将根从队尾入列，然后从队头出数据，出根的时候入它的左孩子和右孩子，NULL也入列。重复次操作，当出数据第一次遇到NULL时，停止入队列并且检查队列中是否还有数据，如果全部为NULL则此树时完全二叉树
如果队列中还有数据，则不是完全二叉树。

// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);//初始化队列
	if (root != NULL)
		QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))//当队列不为空时，循环继续
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);//读取队头元素
		QueuePop(&q);//删除队头元素
		//遇到第一个NULL结点直接跳出循环
		if (front == NULL)
			break;
		QueuePush(&q, front->left);//出队元素的左孩子入队列（NULL也入）
		QueuePush(&q, front->right);//出队元素的右孩子入队列（NULL也入）
	}

	//前面遇到空以后，后面还有非空就不是完全二叉树
	while (!QueueEmpty(&q))//当队列不为空时，循环继续
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);//读取队头元素
		QueuePop(&q);//删除队头元素
		if (front)
		{
			QueueDestroy(&q);//销毁队列
			return false;
		}

	}
	//没有遇到说明是完全二叉树
	QueueDestroy(&q);//销毁队列
	return true;
}

判断二叉树是否为单值二叉树

单值二叉树，所有结点的值都相同的二叉树即为单值二叉树，判断某一棵二叉树是否是单值二叉树的一般步骤如下：
 1.判断根的左孩子的值与根结点是否相同。
 2.判断根的右孩子的值与根结点是否相同。
 3.判断以根的左孩子为根的二叉树是否是单值二叉树。
 4.判断以根的右孩子为根的二叉树是否是单值二叉树。
若满足以上情况，则是单值二叉树。

bool isUnivalTree(struct TreeNode* root) {
   if(root==NULL)
   return true;
   if(root->left&&root->left->val!=root->val) 
   return false;
   if(root->right&&root->right->val!=root->val)
   return false;
   return isUnivalTree(root->left)&&isUnivalTree(root->right);
}

判断两颗二叉树是否相同

拆分成子问题：
先判断根是否为空
再比较根的左子树是否相同
再比较跟根的右子树是否相同

bool isSameTree(struct TreeNode* p, struct TreeNode* q) 
{
    if(p==NULL&&q==NULL)
    return true;
    if(p==NULL||q==NULL)
    return false;
    if(p->val!=q->val)
    return false;
   return  isSameTree(p->left,q->left)&&isSameTree(p->right,q->right);
}

判断二叉树是否为对称二叉树

实际上就是要判断根节点的左右两个子树是否镜像对称。因此，其解决方案为：按照对称的方式遍历左右子树，比较同时遍历的节点是否一致。而且在遍历过程中，只有两个子树的根节点对称了，继续比较左右子树是否对称才有意义，因此我们使用"中序遍历"（其实不是严格的中序遍历，只是我们先比较根节点）

bool isSameTree(struct TreeNode* p, struct TreeNode* q) {
    if(p==NULL&&q==NULL)
    return true;
    if(p==NULL||q==NULL)
    return false;
    if(p->val!=q->val)
    return false;
   return  isSameTree(p->left,q->right)&&isSameTree(p->right,q->left);
 }


   
bool isSymmetric(struct TreeNode* root) {

 if(root==NULL)
 return true;
 return isSameTree(root->left,root->right);
    
}

判断一颗二叉树是否为另一颗二叉树的子树

两个树都是空树，返回true
如果两个树一个是空，一个不是空，不包含
两个树都是非空，比较根节点的值是不是相等，如果相等的话，比较一下p和q是不是相同的树
递归的判定一下，p是否被q的左子树包含
递归的判定一下，p是否被q的右子树包含。

bool isSameTree(struct TreeNode* p, struct TreeNode* q) {
    if(p==NULL&&q==NULL)
    return true;
    if(p==NULL||q==NULL)
    return false;
    if(p->val!=q->val)
    return false;
   return  isSameTree(p->left,q->left)&&isSameTree(p->right,q->right);
}

bool isSubtree(struct TreeNode* root, struct TreeNode* subRoot){
    if(root==NULL)
    return false;
    if(isSameTree(root->left,subRoot))
    return true;
    return isSubtree(root->left,subRoot)||isSubtree(root->right,subRoot);


}

判断二叉树是否为平衡二叉树

如果某二叉树中任意节点的左右子树的深度相差不超过1，那么它就是一棵平衡二叉树。
子问题：
求出左子树的深度。
求出右子树的深度。
若左子树与右子树的深度差的绝对值不超过1，并且左右子树也是平衡二叉树，则该树是平衡二叉树。

int max(int x,  int y)
{
    return x>y?x:y;
}
int height(struct TreeNode* root)
{
    if (root == NULL) 
        return 0;
        return max(height(root->left), height(root->right)) + 1;
}

bool isBalanced(struct TreeNode* root)
{
    if (root == NULL) 
        return true;
        //左右子树高度差的绝对值不超过1 && 其左子树是平衡二叉树 && 其右子树是平衡二叉树
        return fabs(height(root->left) - height(root->right)) <= 1 && 
        isBalanced(root->left) &&
         isBalanced(root->right);//fabs取绝对值，要用要包含头文件#include<math.h>
}

翻转二叉树

子问题：
 翻转左子树。
 翻转右子树。
 交换左右子树的位置。

//翻转二叉树
struct TreeNode* invertTree(struct TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)//根为空，直接返回
		return root;
	struct TreeNode* left = invertTree(root->left);//翻转左子树
	struct TreeNode* right = invertTree(root->right);//翻转右子树
	//左右子树位置交换
	root->left = right;
	root->right = left;
	return root;
}

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