一、问题描述

找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。

问题的状态空间为： E={（x1，x2，...，xr）∣xi∈S ，i=1，2，...，r }        

其中：S={1，2，3，...，n}      

约束集：x1<x2<... <xr

二、算法思路

如下：

1. 初始化一个长度为r的数组c用于存储组合。
2. 递归函数Com(k)用于生成组合：
   • 遍历从1到n的每个数字m。
   • 将第k个位置的数字设为m。
   • 如果当前组合c合法（即k==r），则输出结果。
   • 否则，继续递归调用Com(k+1)生成下一个位置的数字。

递归回溯算法：

INPUT: n个数分别为{1，2，…n}，r。
OUTPUT: n个数的所有r组合。                     
   1.   for k =1to r
   2.        c[k] =0 
   3.   end for
   4.  Com(1) 

过程 Com(k)
   1.   for m=1 to n
   2.       c[k] =m
   3.       if c为合法的解then 
                      得到一个r组合，输出c数组 
   4.       else if c是部分的解 then Com(k+1)                
   5.  end for 

非递归回溯算法：

INPUT: n个数分别为{1，2，…n}，r。
OUTPUT: n个数的所有r组合。
    1.    for  k =1 to r
    2.         c[k] =0
    3.    end for
    4.    k =1
    5.    while k≥1
    6.          while c[k]≤n-1
    7.                 c[k] =c[k]+1
    8.                 if c为合法的  then得到一个r组合，输出c数组
    9.                 else if c是部分解 then k =k+1
   10.         end while
   11.         c[k] =0
   12.         k =k-1
   13.  end while 

总结

递归回溯算法是一种有效的解决组合问题的算法，适用于生成所有可能的组合情况。以下是算法的总结：

1. 初始化一个用于存储组合的数组c，并定义全局变量n和r表示总数和需要组合的长度。
2. 递归函数Com(k)用于生成组合：
   - 逐个尝试每个数字加入到组合中，直到达到指定长度r。
   - 当组合合法时（即k==r），输出结果。
   - 否则，继续递归调用Com(k+1)生成下一个位置的数字。
3. 递归回溯算法通过深度优先搜索的方式尝试所有可能性，试错过程中剪枝去除无效情况，直到找到所有符合条件的组合。
4. 算法的时间复杂度为O(nCr)，通常用于解决组合问题，如从n个数中选择r个数字的所有可能组合。

递归回溯算法是一种强大且灵活的算法，能够解决许多组合和排列问题。在实际应用中，可以根据具体问题的特点适当调整和优化算法，以提高效率和准确性。